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常见的几个函数不等式及其应用
武汉市教育科学研究院 孔峰

在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.
一、函数不等式的介绍
（1） ①
证明：令，则.
当时，；当时，.
所以在时取得极大值，故，
所以.
令，则.
当时，；当时，.
所以在时取得极小值，故，
.
综上可知，.
变式：， ②
. ③
（2） ④
⑤
证明：令，则.
所以函数在单调递减.
所以，当时，；当时，.
所以，不等式④，⑤成立.
变式： ⑥
（3） ⑦
⑧
证明：令，则.
所以函数在单调递增.
当时，；当时，.
所以，不等式⑦，⑧成立.
（4） ⑨
证明：令，则，
而，
由⑥式知，，
所以在上为减函数，.
由⑦式知.
综上可知，不等式⑨成立.
（5） ⑩
证明：令，则.
故.
所以，不等式⑩成立.
变式： ⑪
利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：
（6）贝努尼不等式：当时，
， ⑫
⑬
（7） ⑭
二、常见的函数不等的作用
利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值
例1 （2008年湖南卷，理21）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对任意的都成立，求的最大值.
解：（Ⅰ）对求导数，得

.
由不等式④，⑤可知：
当时，，有，；
当时，，有，.
因此，当时，为减函数；当时，为增函数.
（Ⅱ）由可知，，所以.
记，则，.
由不等式⑨，可知，
.
所以，的最大值为.
（2）利用常用不等式求参数的取值范围
例2 （2010年全国卷，理22）设.
（Ⅰ）证明：时，；
（Ⅱ）设时，，求的取值范围.
解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式可以证明.
（Ⅱ）因为在时恒成立，
所以在时恒成立，则.
另一方面，由，得.
令，由知.
.
由不等式⑦可知，
所以时，.
又由导数定义可知，
所以，故.
综上，所求的取值范围为.
例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数，.
（Ⅰ）讨论在区间上单调性；
（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的取值范围.
解：（Ⅰ）.
因为，所以当，即时，恒成立，则函数在区间上单调递增.
当时，由，得.则函数在区间单调递减，在单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时才可能出现两个极值点，且
，.
而

，此时.
由不等式③ 可知：
要使恒成立，必需，从而.
所以，所求的取值范围为.
（3）利用常见不等式比较大小
例4 （2013年陕西卷，理21）已知函数，.
(Ⅰ) 若直线与的反函数的图像相切，求实数k的值；
(Ⅱ) 设，讨论曲线与曲线 公共点的个数；
(Ⅲ) 设，比较与的大小，并说明理由.
解：(Ⅰ) 的反函数.
设直线与相切与点，
则解之得.
(Ⅱ) 由 ，得.
令，则.
当时，；当时，.
所以是极小值点.
从而可知，在时无交点；在时有一个交点；在时有两个交点.
(Ⅲ) 记，令，
则
.
再令，
在时，可知.
在时，可证明.
事实上，令，则，且.
只需证.
而由常见不等式⑦可知上式恒成立.
从而在时恒成立.
所以，即.
（4）利用常用不等式研究存在性问题
例5（2011年湖南卷，文22）设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）的定义域为.

令，其判别式.
当时，，，故在上单调递增．
当时，而，有，故在上单调递增．
当时，，的两根为，.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，且，．
因为，
所以
若存在，使得，则.
而，所以.
由不等式④可知上式不可能成立，
故不存在，使得.
（5）利用常用不等式证明不等式
例6 （2013年全国大纲卷，理22）已知函数.
（Ⅰ）若时，，求的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，证明：.
解：（Ⅰ）由已知，，.
若，则当时，，所以.
若，则当时，，所以.
综上，的最小值是.
（Ⅱ）由不等式⑩，令，有
.
于是，
，
……
，
以上各式相加，得
.
所以.
例7（2016全国卷Ⅰ，理21）已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
解：（Ⅰ）令，则.
因为函数有两个零点，
所以有两个零点，而，
所以.
记，则.
列表如下：

0

+
不存在
－

0
↗

↘

而，
所以，当时，有两个零点，其中一个零点，另一个零点.
综上，的取值范围为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知时，有两个零点和，其中，，
即存在，使得.
下面证明.
记，则，先证明不等式在时恒成立.
（ⅰ）当时，，，所以.
（ⅱ）当时，要证，
只需证，即.
记，只需证恒成立.
令，则，
所以，从而在时恒成立.
所以，在时恒成立.
因为，，，所以.
所以.
又在上单调递减，所以，从而，
所以，故.
总之，从2006年开始，在近十年的高考数学命题中，这些常见的函数不等式在全国卷中出现的频率是最高的，其次在湖南省、湖北省、陕西省的独立命题中出现也很频繁，在山东省、天津市、辽宁省、广东省等省市的独立命题也时常出现.这些不等式是一种很好的桥梁，能够有效地将一些条件和结论联系起来，无论处理选择题与填空题，还是解决解恨答题，恰当的使用的确能起到事半功倍的效果，要引起广大教师和考生的高度重视，对导数和函数这一部分的复习起到画龙点睛的作用.
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