第三章导数的应用.doc

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第三章 导数的应用

一、中值定理、洛必达法则

1．中值定理
（1）罗尔中值定理
如果函数在上连续；在内可导；，则在内至少存在一个点，使得
．
(2）拉格朗日中值定理
如果函数在上连续;在内可导,则在内至少存在一个点，使得

或 ．
推论1 若，恒有，则（为常数）．
推论2 若，恒有,则（为常数）．
2．洛必达法则
(1)型未定式
如果函数和满足：
①，;
②和在的某空心邻域内可导，且；
③（或），
则 （或）．
（2）型未定式
如果函数和满足:
①，;
②和在的某空心邻域内可导，且;
③（或)，
则 （或）．
注 若洛必达法则中的改为其它情形，结论仍成立，但要对条件②作相应修改．
（3),型未定式
这两种未定式经过适当变形就可化为或型未定式．
（4)，，型未定式
这三种未定式是幂指函数的极限，要先用恒等式

转化，这时右端项的幂指数是型未定式，可化为或型未定式．
第二个重要极限就属于型未定式．型未定式的一般形式是
，其中，．
因为～，所以
．
这就是说，型未定式最终归结到极限上来．
注 ①只有或型未定式才能用洛必达法则．如果当时,极限中含有，，或当时极限中含有,，要慎用洛必达法则，如;
②洛必达法则只是充分条件；
③洛必达法则常与其它求极限的方法(如无穷小的替换）结合起来使用．
例1 设函数在上连续,在内二阶可导，且，，，证明:在内至少存在一个点，使得．
证明 由题中条件知,函数在上满足拉格朗日定理条件，因此,在内至少存在一个点，使得
，；
同理，在内至少存在一个点，使得
，．
又在内二阶可导,于是在内可导且连续，再由拉格朗日定理知，在内至少存在一个点，使得
．
例2 证明: ．
证明 设，显然它在上满足拉格朗日定理条件，因此，在内至少存在一个点，使得
,,
即．因,所以．故
．
例3 求．
解 设，则．因为在上函数满足拉格朗日中值定理的条件，即
，，
所以，原式．
注 当被减函数与减函数中的自变量之差为常数时，不妨试用此法．
例4 求．
解 令，则时,．于是
原式．
注 若直接用洛必达法则计算，所得结果比原极限还要复杂，读者自行验证．此时，变量替换可能是化难为易的有效方法．
例5 求．
解 原式

．
例6 求．
解 原式．
例7 求．
解 因为

，
所以，原式．
注 一般情况下，对数函数和反三角函数不“下放”，其原因是导数运算变得复杂了．例6、例7是特例．
例8 求 ．
解 因为

，
所以，原式．
例9 求下列极限（型）:
(1）； （2)；
（3）．
解 这三个极限都是型未定式．
（1) 因为
，
所以,原式．
（2） 原式
因为
,
所以，原式．
（3) 原式
因为
，
所以,原式．

二、单调性、极值和曲线的凹凸性

1．单调性的判别法
设函数在内可导，
（1）,若，则在区间内单调增加;
（2），若，则在区间内单调减少．
2．极值和凹凸性的判别法
(1）极值存在的必要条件
若函数在点可导，且为极值，则(称为驻点）．
（2）第一判别法
设函数在点的某邻域内可导且（或不存在)，
①若时，;时，，则为极大值；
②若时，;时，，则为极小值；
③若与时，不变号，则不是极值．
（3）第二判别法
设函数在点二阶可导且，，则
①当时,为极大值．
②当时,为极小值．
注 ①函数的不可导点也可能是极值点；
②驻点与不可导点称为可疑极值点;
③两个判别法都是充分条件；
④第二判别法只能用于判定驻点是极大值点还是极小值点．
（4）凹凸性的判别法
设函数在内二阶可导
①,若，则曲线在内是凹的；
②，若，则曲线在内是凸的．
（5）拐点:曲线上凹与凸或凸与凹的分界点．
例10 证明：
（1） ;
（2） ；
（3） ．
证明 （1)设 ，则
，
即函数在区间内严格单调增加．因此，当时
，
从而
．
同理可证 ．所以
．
（2）设 ，则
，
即函数在区间内单调增加．因此，当时
，
从而
．
(3）设 ，则
，
即函数在区间内单调增加．因此，当时
，
从而
．
例11 设,证明：．
证明 把变形为,并设
，
则
,
，
所以，当时，严格单调增加．于是，，即也是严格单调增加的，从而
，
因此
，
故,亦即．
注 证明数字不等式就是要把数字不等式化为函数不等式,并通过函数的性质来证明．辅助函数的取法是解决这类问题的关键．
例12 讨论方程有几个实根．
解 设，则
,
，
令，得驻点：
．
由知，曲线在内是凸的，是函数的唯一极大值点，极大值为．另外，又因为
，
所以，
（1）当，即时，方程有2个实根；
（2）当，即时，方程有1个实根；
（3）当，即时，方程没有实根．
例13 对一切实数，函数满足方程
，
（1）若在点处有极值，试证它是极小值；
（2)若在点处有极值，试证它是极小值．
证明 (1）因为二阶可导，为极值，所以．
将代入方程，得
，
因此，即为极小值．
（2）因为连续，为极值，所以
．
又

，
所以为极小值．
例14 确定函数中的系数,，，，使为驻点，为拐点．
解 因为
，，
又为驻点，为拐点,且它们都在曲线上，所以

解得
，,，．

三、函数的最大值和最小值

求函数在上的最大值和最小值的一般步骤：
(1）求出函数在内的可疑极值点处的函数值；
（2）求出，；
（3）比较上述各函数值，其中最大的就是最大值,最小的就是最小值．
例15 求函数在上的最大值和最小值．
解 因为
，
令得驻点：，，（舍去)．
比较，，，的大小，得
，．
例16 下水道的横截面由矩形与半圆构成，截面面积为定值，试问矩形的底为多少时,该截面周长最短?
解 如图，设矩形的底为，高为，周长
为,由题意得
，
即 ，
所以

，．
令，得唯一驻点:．由问题的实际意义，周长的最小值只能在处取得．故矩形的底时，该截面周长最短．

四、曲线的渐近线

1．水平渐近线
若，则直线为曲线的一条水平渐近线．
2．垂直渐近线
若，则直线为曲线的一条垂直渐近线．
3．斜渐近线
若,，则直线为曲线的一条斜渐近线．
例17 求下列曲线的渐近线:
(1）；（2）；（3）．
解 （1）因为，所以
①,即直线为曲线的一条水平渐近线；
②，即直线为曲线的一条垂直渐近线；
③，即直线为曲线的一条垂直渐近线．
（2）①，即直线为曲线的一条垂直渐近线；
②，即直线为曲线的一条水平渐近线．
（3）因为,所以
①,即直线为曲线的一条垂直渐近线；
②，即直线为曲线的一条垂直渐近线；
③,
．
即直线为曲线的一条斜渐近线．
注 例17（3）说明,若有理函数分子的次数比分母的次数大时，它所表示的曲线一般会有斜渐近线．

习 题 三

1．求下列极限：
（1）； (2）;
（3）; （4）;
（5） ； (6)；
（7）； （8）;
（9）．
2．设不恒为常数的函数在上连续，在内可导,且，证明在内至少存在一个点，使．
3．设，二阶可导，当时,，且，,证明：当时，．
4．设,,证明:对任何,有
．
5．证明:
（1）时，． （2）时，．
6．求下列曲线的渐近线：
（1）； (2)； (3）．

参 考 答 案

1．（1)；（2）；(3）;（4）；(5）;（6)；
（7）;（8）；（9）．
6．（1）水平渐近线：；垂直渐近线：．
(2）垂直渐近线：;斜渐近线：．
（3）垂直渐近线：；斜渐近线：．