第三章导数的应用.doc

个人收集整理 勿做商业用途第三章 导数的应用一、中值定理、洛必达法则1中值定理（1）罗尔中值定理 如果函数在上连续；在内可导；，则在内至少存在一个点，使得(2）拉格朗日中值定理 如果函数在上连续;在内可导,则在内至少存在一个点，使得或 推论1 若，恒有，则（为常数）推论2 若，恒有,则（为常数）2洛必达法则(1)型未定式如果函数和满足：，;和在的某空心邻域内可导，且；（或），则 （或）（2）型未定式如果函数和满足:，;和在的某空心邻域内可导，且;（或)，则 （或）注 若洛必达法则中的改为其它情形，结论仍成立，但要对条件作相应修改（3),型未定式这两种未定式经过适当变形就可化为或型未定式（4)，型未定式这三种未定式是幂指函数的极限，要先用恒等式转化，这时右端项的幂指数是型未定式，可化为或型未定式第二个重要极限就属于型未定式型未定式的一般形式是，其中，因为，所以这就是说，型未定式最终归结到极限上来 注 只有或型未定式才能用洛必达法则如果当时,极限中含有，或当时极限中含有,，要慎用洛必达法则，如;洛必达法则只是充分条件；洛必达法则常与其它求极限的方法(如无穷小的替换）结合起来使用例1 设函数在上连续,在内二阶可导，且，证明:在内至少存在一个点，使得证明 由题中条件知,函数在上满足拉格朗日定理条件，因此,在内至少存在一个点，使得，；同理，在内至少存在一个点，使得，又在内二阶可导,于是在内可导且连续，再由拉格朗日定理知，在内至少存在一个点，使得例2 证明: 证明 设，显然它在上满足拉格朗日定理条件，因此，在内至少存在一个点，使得,即因,所以故 例3 求解 设，则因为在上函数满足拉格朗日中值定理的条件，即，所以，原式 注 当被减函数与减函数中的自变量之差为常数时，不妨试用此法例4 求解 令，则时,于是原式注 若直接用洛必达法则计算，所得结果比原极限还要复杂，读者自行验证此时，变量替换可能是化难为易的有效方法例5 求解 原式例6 求解 原式例7 求解 因为，所以，原式注 一般情况下，对数函数和反三角函数不“下放”，其原因是导数运算变得复杂了例6、例7是特例例8 求 解 因为，所以，原式例9 求下列极限（型）:(1）； （2)；（3）解 这三个极限都是型未定式（1) 因为，所以,原式（2） 原式因为,所以，原式（3) 原式因为，所以,原式二、单调性、极值和曲线的凹凸性1单调性的判别法设函数在内可导， （1）,若，则在区间内单调增加;（2），若，则在区间内单调减少2极值和凹凸性的判别法(1）极值存在的必要条件若函数在点可导，且为极值，则(称为驻点）（2）第一判别法设函数在点的某邻域内可导且（或不存在)，若时，;时，则为极大值；若时，;时，则为极小值；若与时，不变号，则不是极值（3）第二判别法设函数在点二阶可导且，则当时,为极大值当时,为极小值注 函数的不可导点也可能是极值点；驻点与不可导点称为可疑极值点;两个判别法都是充分条件；第二判别法只能用于判定驻点是极大值点还是极小值点（4）凹凸性的判别法设函数在内二阶可导,若，则曲线在内是凹的；，若，则曲线在内是凸的（5）拐点:曲线上凹与凸或凸与凹的分界点例10 证明：（1） ;（2） ；（3） 证明 （1)设 ，则， 即函数在区间内严格单调增加因此，当时，从而 同理可证 所以 （2）设 ，则，即函数在区间内单调增加因此，当时，从而 (3）设 ，则，即函数在区间内单调增加因此，当时，从而 例11 设,证明：证明 把变形为,并设 ，则,，所以，当时，严格单调增加于是，即也是严格单调增加的，从而，因此，故,亦即注 证明数字不等式就是要把数字不等式化为函数不等式,并通过函数的性质来证明辅助函数的取法是解决这类问题的关键例12 讨论方程有几个实根解 设，则,，令，得驻点：由知，曲线在内是凸的，是函数的唯一极大值点，极大值为另外，又因为，所以，（1）当，即时，方程有2个实根；（2）当，即时，方程有1个实根；（3）当，即时，方程没有实根例13 对一切实数，函数满足方程，（1）若在点处有极值，试证它是极小值；（2)若在点处有极值，试证它是极小值证明 (1）因为二阶可导，为极值，所以将代入方程，得，因此，即为极小值（2）因为连续，为极值，所以又，所以为极小值例14 确定函数中的系数,，使为驻点，为拐点解 因为，又为驻点，为拐点,且它们都在曲线上，所以解得 ，,，三、函数的最大值和最小值求函数在上的最大值和最小值的一般步骤：(1）求出函数在内的可疑极值点处的函数值；（2）求出，；（3）比较上述各函数值，其中最大的就是最大值,最小的就是最小值例15 求函数在上的最大值和最小值解 因为，令得驻点：，（舍去)比较，的大小，得，例16 下水道的横截面由矩形与半圆构成，截面面积为定值，试问矩形的底为多少时,该截面周长最短?解 如图，设矩形的底为，高为，周长为,由题意得，即 ，所以，令，得唯一驻点:由问题的实际意义，周长的最小值只能在处取得故矩形的底时，该截面周长最短四、曲线的渐近线1水平渐近线若，则直线为曲线的一条水平渐近线2垂直渐近线若，则直线为曲线的一条垂直渐近线3斜渐近线若,，则直线为曲线的一条斜渐近线例17 求下列曲线的渐近线:(1）；（2）；（3）解 （1）因为，所以,即直线为曲线的一条水平渐近线；，即直线为曲线的一条垂直渐近线；，即直线为曲线的一条垂直渐近线（2），即直线为曲线的一条垂直渐近线；，即直线为曲线的一条水平渐近线（3）因为,所以,即直线为曲线的一条垂直渐近线；，即直线为曲线的一条垂直渐近线；,即直线为曲线的一条斜渐近线注 例17（3）说明,若有理函数分子的次数比分母的次数大时，它所表示的曲线一般会有斜渐近线习 题 三1求下列极限：（1）； (2）;（3）; （4）;（5） ； (6)； （7）； （8）;（9）2设不恒为常数的函数在上连续，在内可导,且，证明在内至少存在一个点，使3设，二阶可导，当时,，且，,证明：当时，4设,证明:对任何,有5证明:（1）时， （2）时，6求下列曲线的渐近线：（1）； (2)； (3）参 考 答 案1（1)；（2）；(3）;（4）；(5）;（6)；（7）;（8）；（9）6（1）水平渐近线：；垂直渐近线：(2）垂直渐近线：;斜渐近线：（3）垂直渐近线：；斜渐近线：