数学分析教案-(华东师大版)第六章-微分中值定理及其应用.doc

数学分析教案 (华东师大版)第六章 微分中值定理及其应用

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

2

个人收集整理 勿做商业用途
第六章 微分中值定理及其应用  
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础；
2。熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时 
§ 1 中值定理(4学时）
教学目的:掌握微分学中值定理,领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求:深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。
教学难点：定理的证明。
教学难点： 系统讲解法。
一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线"之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用?俗话说得好:工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃.我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性?由此引入新课——第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）
二、讲授新课：
（一）极值概念:  
1．极值： 图解，定义 （ 区分一般极值和严格极值. ） 
2。  可微极值点的必要条件:  
Th ( Fermat ) （ 证 ) 
函数的稳定点， 稳定点的求法。 
(二) 微分中值定理:  
1。 Rolle中值定理： 叙述为Th1.（ 证 )定理条件的充分但不必要性. 
2。  Lagrange中值定理： 叙述为Th2。 ( 证 ) 图解 . 
用分析方法引进辅助函数, 证明定理。用几何直观引进辅助函数的方法参阅［1］P157. 
Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 
推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证）
推论2 函数和在区间I上可导且
推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导。 若存在,则右导数也存在,且有（证)
但是， 不存在时, 却未必有 不存在。 例如对函数

虽然不存在，但却在点可导(可用定义求得)。
Th ( 导数极限定理 ） 设函数在点的某邻域内连续,在内可导。 若极限存在, 则也存在， 且( 证 ） 由该定理可见，若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时，导函数在区间I上不可能有第二类间断点。
推论4 （ 导函数的介值性 ） 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 )
Th （ Darboux ） 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于与 之间的任一实数, 则
设对辅助函数, 应用系4的结果. （ 证 )
3。 Cauchy中值定理：  
Th 3 设函数 和 在闭区间 上连续， 在开区间 内可导, 和 在内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 . 
证 分析引出辅助函数 . 验证 在 上满足Rolle定理的条件，  

必有 ， 因为否则就有 .这与条件“ 和 在 内不同时为零”矛盾。  
Cauchy中值定理的几何意义。 
(三）中值定理的简单应用：  
1。 证明中值点的存在性 
例1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导， 则 , 使得 . 
证 在Cauchy中值定理中取 。 
例2  设函数在区间上连续,在内可导，且有 .试证明: 。 
2。 证明恒等式： 原理. 
例3  证明: 对 , 有 。
例4  设函数 和 可导且 又 则.证明 .
例5  设对 ， 有 , 其中 是正常数。 则函数 是常值函数. （证明 ）。 
3。 证明不等式:
例6  证明不等式： 时， 。
例7  证明不等式: 对 ,有 。
4. 证明方程根的存在性:  
证明方程 在 内有实根。 
例8  证明方程 在 内有实根. 
§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）
教学目的:
1. 掌握讨论函数单调性方法；
2. 掌握L'Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
教学要求：
1。 熟练掌握L'Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；
2. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。
教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital法则
教学难点：L’Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。
教学方法：问题教学法，结合练习。
一. 型:
Th 1 （ Hospital法则 ） （ 证 ) 应用技巧。 
例1
例2 .
例3 。 （ 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算。 ）
例4 . （ Hospital法则失效的例 ） 
二。  型:  
Th 2 （ Hospital法则 ) （ 证略 ）  
例5  .
例6  。
註： 关于 当 时的阶. 
例7  。 ( Hospital法则失效的例 ） 
三。 其他待定型： .前四个是幂指型的。  
例8 
例9  .
例10 。
例11 。
例12 .
例13 。
例14 设且求
解
.
§ 3 Taylor公式（2学时）  
教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。
教学要求：
1。 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异;
2. 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用.
3. 会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。
教学重点：Taylor公式
教学难点：Taylor定理的证明及应用。
教学方法:系统讲授法.
一。 问题和任务: 
用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度. 
二。 Taylor（ 1685—1731 )多项式:  
分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 
定义 Taylor 多项式 及Maclaurin多项式  
例1 求函数在点的Taylor多项式。 ［1]P174。( 留作阅读 ) 
三。 Taylor公式和误差估计:  
称为余项。称给出的定量或定性描述的式 
为函数的Taylor公式. 
1. 误差的定量刻画（ 整体性质 ) —— Taylor中值定理:  
Th 1 设函数 满足条件: 
ⅰ〉 在闭区间 上有直到阶连续导数； 
ⅱ〉 在开区间内有阶导数.则对使
。
证 ［1]P175—176. 
称这种形式的余项 为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式。 Lagrange型余项还可写为  
。
时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为 
.
2.   误差的定性描述（ 局部性质 ) —- Peano型余项：  
Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数,且存在，则，.
证 设 , . 应用 Hospital法则 次，并注意到 存在， 就有
= 
. 
称 为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为 。 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式（ 或Maclaurin公式 ）。
四。 函数的Taylor公式（ 或Maclaurin公式 ）展开:
1. 直接展开:
例2 求 的Maclaurin公式.
解 .
例3 求 的Maclaurin公式.
解 ,
.
例4  求函数 的具Peano型余项的Maclaurin公式 。 
解 .
.
例5  把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .  （ [1］P179 E5, 留为阅读. ) 
2。间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换，求新的展开式.
例6 把函数 展开成含 项的具Peano型余项的Maclaurin公式 。 
解 ，
。 
例7 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 
解 ， 
注意,
。

例8 先把函数 展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 。 利用得到的展开式， 把函数 在点 展开成具Peano型余项的Taylor公式。
解 。 

= +  
例9 把函数 展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，并与 的相应展开式进行比较.
解
；
.
而 。
五.Taylor公式应用举例:
1. 证明 是无理数:
例10 证明 是无理数。
证 把 展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有
。
反设 是有理数, 即 和 为整数）， 就有 整数 + 。
对 也是整数. 于是, 整数 = 整数―整数 = 整数.但由因而当时,不可能是整数. 矛盾.
2. 计算函数的近似值：
例11 求 精确到 的近似值.
解 .
注意到 有。 为使 ,
只要取 。 现取 , 即得数 的精确到 的近似值为
。
3.利用Taylor公式求极限： 原理:
例12 求极限 。
解 ，
;

。
4。证明不等式： 原理.
例13 证明: 时， 有不等式 . ［3］P130 E33。
§4 函数的极值与最大(小）值 （2学时） 
教学目的:会求函数的极值和最值.
教学要求：
1. 会求函数的极值与最值;
2. 弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件;掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值,对于取得极值的第三充分条件，也应用基本的了解。
教学重点：利用导数求极值的方法
教学难点：极值的判定
教学方法： 讲授法＋演示例题
一．可微函数单调性判别法:
1．单调性判法：  
Th 1 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ↗（或↘) 在 内 （ 或 ）。
证 )
) 证 .
Th 2 设函数 在区间 内可导. 则在 内 ↗↗( 或↘↘)
ⅰ〉 对 有 ( 或 ；
ⅱ〉 在 内任子区间上
2. 单调区间的分离：的升、降区间分别对应的非负、非正值区间.
例1  分离函数 的单调区间。
更一般的例可参阅［4］P147-148 E13，14. 
二.可微极值点判别法:极值问题:极值点，极大值还是极小值，极值是多少.
1. 可微极值点的必要条件: Fermat定理( 表述为Th3 ）。 
函数的驻点和（连续但）不可导点统称为可疑点， 可疑点的求法. 
2.  极值点的充分条件：对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点。 
Th 4 （充分条件Ⅰ) 设函数 在点 连续， 在邻域 和 内可导。 则
ⅰ〉 在 内 在 内 时, 为 的一个极小值点;
ⅱ〉 在 内 在 内 时， 为 的一个极大值点;
ⅲ〉 若 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点。
Th 5 （充分条件Ⅱ——“雨水法则")设点 为函数 的驻点且 存在。则
ⅰ〉 当 时, 为 的一个极大值点；
ⅱ〉 当 时， 为 的一个极小值点.
证法一
当 时， 在点 的某空心邻域内 与 异号，……
证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项。  
Th 6 (充分条件Ⅲ ) 设 ,而 。则
ⅰ> 为奇数时， 不是极值点;
ⅱ> 为偶数时,是极值点。且对应极小;对应极大.
例2 求函数 的极值. [1］P190 E3
例3 求函数 的极值. ［1］P190 E4
3. 函数的最值： 设函数 在闭区间 上连续且仅有有限个可疑点. 则
= ;
. 
函数最值的几个特例：  
ⅰ〉 单调函数的最值：
ⅱ> 如果函数 在区间 上可导且仅有一个驻点, 则当 为极大值点时, 亦为最大值点; 当 为极小值点时, 亦为最小值点。
ⅲ> 若函数 在 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大（或小）值点.  
ⅳ〉 对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大(或小）值点.  
三。  最值应用问题:
例4 、 两村距输电线(直线）分别为 和 （如图)， 长 。 现两村合用一台变压器供电。 问变压器设在何处，输电线总长 最小。
解 设 如图，并设输电线总长为 .则有

， ,
解得 和 ( 捨去 ）。 答： ……  
四。  利用导数证明不等式： 
我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法。 其实， 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P112—142 )。 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理. 
1.  利用单调性证明不等式: 
原理: 若 ↗, 则对 ， 有不等式 . 
例5 证明： 对任意实数 和 , 成立不等式

证 取 在 内 ↗↗。 于是, 由 , 就有 , 即
。  
2.不等式原理: [4］P169—171.  
不等式原理: 设函数 在区间 上连续,在区间 内可导，且 ； 又 则 时, (不等式原理的其他形式。）
例6 证明： 时， 。
例7 证明: 时, 。
2。 利用极值证明不等式：
例8 证明： 时， .
§ 5 函数的凸性与拐点(2学时）
教学目的：掌握讨论函数的凹凸性和方法.
教学要求：弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点:利用导数研究函数的凸性
教学难点:利用凸性证明相关命题
教学方法:系统讲授法＋演示例题
一．凸性的定义及判定：  
1．凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别。 
定义 设函数在区间上连续。 若对, 恒有
， 或 .
则称曲线 在区间 上是凹（或凸）的。 若在上式中， 当 时, 有严格不等号成立, 则称曲线 在区间 上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸. 
凸性的几何意义: 倘有切线， 与切线的位置关系； 与弦的位置关系； 曲线的弯曲方向。 
2．利用二阶导数判断曲线的凸向:
Th 设函数 在区间 内存在二阶导数， 则在 内
⑴ 在 内严格上凸;
⑵ 在 内严格下凸。
该判别法也俗称为“雨水法则”.
证法一 （ 用Taylor公式 ） 对 设 ， 把 在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有

。
其中 和 在 与 之间。 注意到 ， 就有
， 于是
若有上式中,即严格上凸.
若有上式中,即严格下凸。
证法二 （ 利用Lagrange中值定理. ） 若 则有 ↗↗, 不妨设 ，并设 ，分别在区间 和 上应用Lagrange中值定理, 有
，
。
有 又由 ，
〈 ， ， 即
, 严格下凸.
可类证 的情况。
3．凸区间的分离：的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.
二. 曲线的拐点: 拐点的定义.
例1 确定函数 的上凸、下凸区间和拐点。 ［4］P154 E20
解 的定义域为
。 令 , 解得
。
在区间 内 的符号依次为， . 拐点为：
倘若注意到本题中的 是奇函数, 可使解答更为简捷。
三.Jensen不等式及其应用:  
Jensen不等式： 设在区间 上恒有 ( 或 , 则对 上的任意个点 , 有Jensen不等式:
( 或 ，
且等号当且仅当 时成立.
证 令 , 把 表为点 处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明,注意 即得所证。
对具体的函数套用Jensen不等式的结果， 可以证明一些较复杂的不等式。 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时， 往往还用到所选函数的严格单调性.
例2  证明: 对 有不等式 。
例3  证明均值不等式： 对 ， 有均值不等式
。
证 先证不等式 .
取 .在 内严格上凸， 由Jensen不等式， 有
。
由 ↗↗ .
对 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端。
例4  证明: 对 , 有不等式
. （ 平方根平均值 ）
例5  设 ，证明 .
解 取 , 应用Jensen不等式。
Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅 荆昌汉 文： “凸(凹）函数定理在不等式证明中的应用”，《数学通讯》1980.4. P39。
例6 在⊿ 中, 求证 .
解 考虑函数 在区间 内凹, 由Jensen不等式, 有
。
.
例7 已知 。 求证
.
解 考虑函数 ， 在 内严格上凸. 由Jensen不等式， 有

.
.
例8 已知 求证 。（ 留为作业 )
解 函数 在 内严格下凸。 由Jensen不等式， 有

.
习题、小结(2学时)
- 27 -