湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学理试题Word版含答案.doc

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武昌区2015届高三年级元月调研考试
理 科 数 学 试 卷
本试题卷共5页，共22题.满分150分,考试用时120分钟
★祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答:选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．i为虚数单位，若 ，则
A．1 B． C． D．2
2．已知，，“存在点”是“”的
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
3．若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2。5
0。5
0。5
2.0
得到的回归方程为。若，则每增加1个单位，就
A．增加个单位 B．减少个单位
C．增加个单位 D．减少个单位
5。如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上。用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为和,那么
A． B．= C． D．不确定

俯视图
正视图
侧视图
3
6
4
2
6．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别是
A．24+和40
B．24+和72
C．64+和40
D．50+和72

7．已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1
C
B
x
y
O
A
E
D
F
f(x)=sinx
g(x)=cosx
8．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，—1),B（,—1)，C(，1)，D(0,1），正弦曲线f(x）=sinx和余弦曲线g(x）=cosx在矩形ABCD内交于点F,向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是
A．
B．
C．
D．
9．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是
A． B． C． D．
10．已知函数是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线对称,且.若函数在区间上有10个零点（互不相同)，则实数的取值范围是
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清,模棱两可均不得分.
（一)必考题（11-14题）
11．已知正方形的边长为,为的中点， 为的中点，则_______.

12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是_______.

13。设斜率为的直线与双曲线交于不同的两点P、Q,若点P、Q在轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率是 .
14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）。
（Ⅰ）共有 个五位“渐升数"（用数字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .
（二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B,C。若PA＝6，AC＝8,BC＝9，则AB＝________．
16．(选修4—4：坐标系与参数方程)
已知曲线的参数方程是（为参数，a为实数常数）,曲线的参数方程是（为参数,b为实数常数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。 若与分曲线所成长度相等的四段弧，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分11分）
已知函数的在区间上的最小值为0.
（Ⅰ）求常数a的值;
（Ⅱ）当时，求使成立的x的集合。

18．（本小题满分12分）
已知等差数列｛an}的首项为1，前n项和为，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ)记为数列的前项和，是否存在正整数n,使得?若存在，求的最大值;若不存在，说明理由.

19．（本小题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.
(Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；

A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时,求二面角的正切值。

20．（本小题满分12分）
对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：
日车流量x

频率
0.05
0。25
0。35
0。25
0。10
0
将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率;
(Ⅱ)用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．

21．（本小题满分14分）
已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．
(Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点,T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
（ⅰ)若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点),求的值；
（ⅱ）在(ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．

22．（本小题满分14分）
已知函数(a为常数)，曲线y＝f（x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1。
（Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明：当时，；
(Ⅲ)证明：当时，.

武昌区2015届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题:
1．A 2．B 3．B 4．B 5.B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C
二、填空题:
11． 0　 12． an＝2n,或aN＝2N 13。
14.(Ⅰ）126；（Ⅱ）34579 15． 4 16． 2
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为，所以.
因为时,，所以时的取得最小值.
依题意，，所以；…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知。
要使，即。
所以,即.
当时，；当时,。
又，故使成立的x的集合是。………………………………（11分)
18．解：（Ⅰ)设数列的公差为，依题意,1，，成等比数列，
所以，即，所以或.
因此，当时，；当时,.……………………………………………（6分)
（Ⅱ）当时，,此时不存在正整数n，使得；
当时，
.
由,得，解得。
故的最大值为1006. …………………………………………………（12分)
19．解：设。以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：
,，，，,，，,
C
A
B
D
E
F
A1
B1
C1
D1
x
y
z
,。
（Ⅰ)因为,，
所以.
所以。………………………………………（4分)
（Ⅱ）因为,
所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.
因为，
所以当时，即E,F分别是棱AB,BC的中点时，三棱锥B1—BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为，.
设平面的法向量为，
则得
取，得。显然底面的法向量为.
设二面角的平面角为，由题意知为锐角.
因为，所以，于是。
所以，即二面角的正切值为.………………………………（12分)
20．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆"．则
P(A1)＝0。35＋0。25＋0.10＝0。70，P（A2)＝0。05,
所以P(B）＝0.7×0。7×0。05×2＝0。049。 …………………………………………………（6分）
（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
，,
,。
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0。027
0.189
0。441
0.343
因为X～B(3,0。7），所以期望E(X）＝3×0.7＝2。1. ……………………………………………（12分）
21．解：（Ⅰ）由已知可得解得a2＝6，b2＝2.
所以椭圆C的标准方程是. …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）(ⅰ)由(Ⅰ）可得,F点的坐标是(2，0)。
设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得（m2＋3）y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3)>0。
设P(x1，y1）,Q（x2，y2)，则y1＋y2＝,y1y2＝.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝。
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
因为，所以直线FT的斜率为，其方程为。
当时，,所以点的坐标为,
此时直线OT的斜率为，其方程为.
将M点的坐标为代入，得.
解得. ………………………………………………（8分）
（ⅱ）由（ⅰ)知T为直线上任意一点可得,点T点的坐标为.
于是，

。
所以

。
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(3，1)或（3,－1)．………………………………………………（14分）
22．解:(Ⅰ)由，得。
又，所以.所以，。
由，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增。 ……………………（4分)
（Ⅱ）证明:由（Ⅰ）知。
所以，即，。
令，则。
所以在上单调递增,所以，即.…………（8分）
（Ⅲ)首先证明：当时,恒有.
证明如下：令，则.
由(Ⅱ）知，当时，，所以,所以在上单调递增，
所以，所以。
所以，即.
依次取，代入上式，则
，
，

。
以上各式相加，有
所以，
所以，即.………（14分）
另解：用数学归纳法证明（略）