天津市新华中学高三第三次考理科数学.doc

天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷
（理科）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题6分，共48分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为，所以满足条件的直线方程为，即，选D.
2. 已知实数满足则的最小值是（ ）
A. 7 B. -5 C. 4 D. -7
【答案】B
【解析】由得，，做直线，平移直线，由图象 可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最小，由得，，代入得最小值，所以选B.
3. 如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
【答案】B
【解析】,取AC的中点M,连结EM,MF，因为E,F是中点，所以,,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角。在三角形MEF中，，所以,所以直线AB与PC所成的角为为，选B.
4. 设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为(　 　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，，即，所以，选D.
5. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是 (　 　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若，，所以，又，所以，即，所以选C.
6. 若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）
A. 1 B. 1或2 C. -2 D. 1或-2
【答案】A
【解析】直线的方程为，若，则两直线不平行，所以，要使两直线平行，则有，由，解得或。当时，，所以不满足条件，所以，选A.
7. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体为正四面体，所以的外接圆的半径为，所以点O到面的距离,所以三棱锥的高,所以三棱锥的体积为，选A.
二、填空题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分.)把答案填在题中横线上.
9. 已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.

【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为。
10. 已知向量夹角为 ，且 ；则___ ___.
【答案】
【解析】因为向量的夹角为，所以，所以，即，所以，解得。
11. 若，则 .
【答案】
【解析】，所以，。
12. 设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】设，即，所以，即，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，所以.
13. 在数列中，，则数列中的最大项是第 项。
【答案】6或7
【解析】假设最大，则有，即，所以，即，所以最大项为第6或7项。
14. 如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．

【答案】
【解析】将矩形放入平面直角坐标系，如图因为,为的中点,所以，,设,则,,所以，所以。所以,,所以.
三、解答题：(本大题共4小题，共66分．)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分15分）
已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．
16. （本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点
（1）证明:平面.
（2）证明:平面.
（3）求二面角的大小.

17. （本小题满分18分）
设数列{}的前项和为，且满足=2-，(=1，2，3，…)
(Ⅰ)求数列{}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}满足=1，且，求数列{}的通项公式；
(Ⅲ),求的前项和
18. （本小题满分18分）
已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.
【试题答案】
一、选择题：(本大题共8小题，每小题6分，共48分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
D
C
A
A
A

三、解答题：(本大题共4小题，共66分．)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. [解析]　f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
(2)由sin(2x＋)＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)，
∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(－，0)．

16. 解：（1）证明：连接与交于，为正方形，为中点.
为中点，
又平面，平面
//平面
（2）为中点，

为正方形，
又平面，平面
又是平面内的两条相交直线，
即平面，又平面，所以

17. 解: (Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(n∈N*)
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2()n-1(n=1，2，3，…)
(3)
所以
18. 解：
（Ⅰ）的定义域为，
当时，，

1

—
0
+

极小

（III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，
即函数在上的最小值小于零.
由（Ⅱ）可知
①当，即时，在上单调递减，

综上讨论可得所求的取值范围是：或.