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幂函数
分数指数幂
正分数指数幂的意义是：（，、，且）
负分数指数幂的意义是：（，、，且）
一、幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

二、幂函数的图像
幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．

从中可以归纳出以下结论：
① 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
② 时，幂函数图像过原点且在上是增函数．
③ 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．
④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数
偶函数
非奇非偶函数

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

三、幂函数基本性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
　规律总结
　　1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；
　　2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．
经典例题透析
类型一、求函数解析式
例1.已知幂函数，当时为减函数，则幂函数__________．
解析：由于为幂函数，
所以，解得，或．
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为常数函数，不合题意，舍去．
故所求幂函数为．
总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．
类型二、比较幂函数值大小
例2.比较下列各组数的大小.
(1)与； (2)与.
解:(1)由于幂函数(x>0)单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴ .即.
总结升华：
(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三
【变式一】比较，，的大小.
思路点拨：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
解：在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
例3.已知幂函数， ， ， 在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?
解:应为n1<n2<0<n3<1<n4.
总结升华：对于幂函数的图象，其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.
举一反三
【变式一】（2011 陕西文4） 函数的图像是（ ）

思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．
解：取，则，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．
类型三、求参数的范围
例4.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．
解：图象与轴都无交点， ，即．
又，．
幂函数图象关于轴对称，
，或．
当时，函数为，图象如图1；
当时，函数为，图象如图2．

举一反三
【变式一】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:
(1) (2) (3) (4)
分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使， 即， 解得:.
总结升华：
以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型四、讨论函数性质
例5.求函数y=的定义域.
解:原函数可化为 y= ∴x[-2，3)∪(3，+∞).
总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.
例6.讨论函数的单调性.
解:可看作是由与u=x2-2x-3复合而成，
∵中，u(0，+∞).∴ x2-2x-3>0， 得到x>3或x<-1.
当x>3时，∵u=(x-1)2-4， ∴随着x的增大u增大，
又∵在定义域内为减函数，∴y随着u的增大而减小，
即时，是减函数，而时，原函数为增函数.
总结升华：
1.复合函数的讨论一定要理清x，u，y三个变量的关系.
2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x的限制.
举一反三
【变式一】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．
解：（1）是正偶数，
是正奇数．
函数的定义域为．
（2）是正奇数，
，且定义域关于原点对称．
是上的奇函数．
（3），且是正奇数，
函数在上单调递增．

指对幂函数试题
1. 已知幂函数f ( x )图像过点（2，），则f ( 4 ) =
2. 函数与的函数图象关于直线对称，则
3.求函数的值域.
解：令，则，故，所以
4、 设，则的大小关系是 a>b>c
5.，，则 ___
6、若函数的反函数是，且在[1，2]上的最大值与最小值之和为，则 .
7、若，则实数a的取值范围是___________
8、已知幂函数的反函数的图像过，求函数解析式为

9、定义域是 ；定义域是
10、（选）函数的单调递增区间是 ，值域为
11、已知，求的最小值与最大值。
解：因为，令，则
故.

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