幂函数老师新版.doc

幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握，当的图像和性质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在上是增函数 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（3）0时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数y，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01和1三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0时图象是双曲线型；1时图象是竖直抛物线型；01时图象是横卧抛物线型经典例题透析类型一、求函数解析式例1.已知幂函数，当时为减函数，则幂函数_解析：由于为幂函数，所以，解得，或当时，在上为减函数；当时，在上为常数函数，不合题意，舍去故所求幂函数为总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键类型二、比较幂函数值大小例2.比较下列各组数的大小.(1)与； (2)与.解:(1)由于幂函数(x0)单调递减且，.(2)由于这个幂函数是奇函数. f(-x)=-f(x)因此，而(x0)单调递减，且， .即.总结升华：(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较，的大小.思路点拨：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.解：在上单调递增，且，.作出函数与在第一象限内的图象，易知.故.例3.已知幂函数， ， ， 在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?解:应为n1n20n310， 得到x3或x3时，u=(x-1)2-4， 随着x的增大u增大，又在定义域内为减函数，y随着u的增大而减小，即时，是减函数，而时，原函数为增函数.总结升华：1.复合函数的讨论一定要理清x，u，y三个变量的关系.2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x的限制.举一反三【变式一】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性解：（1）是正偶数，是正奇数函数的定义域为（2）是正奇数，且定义域关于原点对称是上的奇函数（3），且是正奇数，函数在上单调递增指对幂函数试题1. 已知幂函数f ( x )图像过点（2，），则f ( 4 ) = 2. 函数与的函数图象关于直线对称，则 3.求函数的值域.解：令，则，故，所以4、 设，则的大小关系是 abc 5.，则 _ 6、若函数的反函数是，且在1，2上的最大值与最小值之和为，则 .7、若，则实数a的取值范围是_8、已知幂函数的反函数的图像过，求函数解析式为 9、定义域是 ；定义域是 10、（选）函数的单调递增区间是 ，值域为 11、已知，求的最小值与最大值。解：因为，令，则故.7 / 7