数学分析教案(华东师大版)第十九章含参量积分.doc

(完整版)数学分析教案(华东师大版)第十九章含参量积分
第十九章含参量积分
教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2。掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法;3。掌握欧拉积分地形式及有关计算。
教案重点难点:本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定。b5E2RGbCAP
教案时数：12学时
§ 1含参量正常积分
一. 含参积分:以实例和引入.
定义含参积分和.
含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分。
1。 含参积分地连续性:
Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数
在上连续 。 ( 证 〉 P172
Th19.8 若函数在矩形域上连续， 函数和在上连续 , 则函数在上连续. （ 证 〉 P173 p1EanqFDPw
2. 含参积分地可微性及其应用:
Th 19。10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续， 则函数在上可导 , 且
。
( 即积分和求导次序可换 > 。 ( 证 〉 P174 
Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续，函数和定义在， 值域在上 ， 且可微 , 则含参积分在上可微 ， 且DXDiTa9E3d
. ( 证 〉P174
例1 计算积分。 P176。
例2        设函数在点地某邻域内连续 。 验证当充分小时 ， 函数

地阶导数存在 ， 且. P177.
§ 2 含参反常积分
一. 含参无穷积分：
1.      含参无穷积分:函数定义在上 （ 可以是无穷区间 > . 以为例介绍含参无穷积分表示地函数。RTCrpUDGiT
2. 含参无穷积分地一致收敛性：
逐点收敛（ 或称点态收敛 〉 地定义： ， ， 使
.
引出一致收敛问题 .
定义(一致收敛性 > 设函数定义在上 。 若对, 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于>一致收敛.5PCzVD7HxA
Th 19。5 （ Cauchy收敛准则 〉 积分在上一致收敛,
对成立 。
例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 ， 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 jLBHrnAILg
3。 含参无穷积分与函数项级数地关系:
Th 19.6 积分在上一致收敛, 对任一数列, ↗， 函数项级数在上一致收敛. （ 证略 〉 xHAQX74J0X
二. 含参无穷积分一致收敛判别法:
1。 Weierstrass M 判别法: 设有函数, 使在上有。 若积分, 则积分在一致收敛.
例2 证明含参无穷积分在内一致收敛. P182 
2。 Dirichlet判别法和Abel判别法: P182 
三. 含参无穷积分地解读性质: 含参无穷积分地解读性质实指由其所表达地函数地解读性质。 
1. 连续性： 积分号下取极限定理。
Th 19.7 设函数在上连续 。 若积分在上一致收敛, 则函数在上连续。 （ 化为级数进行证明或直接证明 〉LDAYtRyKfE
推论在Th。7地条件下 ， 对, 有

2。 可微性： 积分号下求导定理。
Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分在上收敛， 积分在一致收敛。 则函数在上可微,且. 
3。 可积性： 积分换序定理。
Th 19。9 设函数在上连续. 若积分在上一致收敛, 则函数在上可积 ， 且有
。
例3 计算积分
P186 
四.           含参瑕积分简介:
§ 3 Euler积分
本节介绍用含参广义积分表达地两个特殊函数 , 即和. 它们统称为Euler积分。 在积分计算等方面, 它们是很有用地两个特殊函数. Zzz6ZB2Ltk
一. Gamma函数-—Euler第二型积分：
1. Gamma函数： 考虑无穷限含参积分
,
当时， 点还是该积分地瑕点 . 因此我们把该积分分为来讨论其敛散性 .
： 时为正常积分 。时， .利用非负函数积地Cauchy判别法， 注意到时积分收敛 . （易见时， 仍用Cauchy判别法判得积分发散 >. 因此, 时积分收敛 .dvzfvkwMI1
: 对R成立,.因此积分对R收敛。
综上 , 时积分收敛 。 称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了内地一个函数， 称该函数为Gamma函数, 记为，即rqyn14ZNXI
=， 。
函数是一个很有用地特殊函数 。 
2。 函数地连续性和可导性:
在区间内非一致收敛 。 这是因为时积分发散. 这里利用了下面地结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点发散， 则积分在内非一致收敛 . EmxvxOtOco
但在区间内闭一致收敛 。即在任何上 ， 一致收敛 。 因为时, 对积分, 有, 而积分收敛.
对积分， ， 而积分收敛。 由M—判法, 它们都一致收敛, 积分在区间上一致收敛 。
作类似地讨论， 可得积分也在区间内闭一致收敛. 于是可得如下结论：
地连续性: 在区间内连续 .
地可导性: 在区间内可导， 且
.
同理可得： 在区间内任意阶可导, 且
.  
3. 凸性与极值：
， 在区间内严格下凸。
（ 参下段 〉, 在区间内唯一地极限小值点（ 亦为最小值点 > 介于1与2 之间 .
4。 地递推公式函数表：
地递推公式 ： .
证
.
.
于是， 利用递推公式得:
，
，
， …………, ,
一般地有。
可见 ， 在上, 正是正整数阶乘地表达式 . 倘定义, 易见对，该定义是有意义地. 因此， 可视为内实数地阶乘. 这样一来， 我们很自然地把正整数地阶乘延拓到了内地所有实数上， 于是， 自然就有, 可见在初等数学中规定是很合理地.SixE2yXPq5
函数表： 很多繁杂地积分计算问题可化为函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了函数表供查. 由函数地递推公式可见, 有了函数在内地值， 即可对， 求得地值. 通常把内函数地某些近似值制成表, 称这样地表为函数表也有在内编制地函数表。〉 6ewMyirQFL
5. 函数地延拓：
时， 该式右端在时也有意义 . 用其作为时地定义, 即把延拓到了内.时， 依式, 利用延拓后地， 又可把延拓到内 。kavU42VRUs
依此 , 可把延拓到内除去地所有点. 经过如此延拓后地地图象如 P192图表19-2。
例1 求, ， 。 （ 查表得。>
解
.
>, .
6. 函数地其他形式和一个特殊值:
某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数 . 倘能如此, 可查函数表求得该积分地值。
常见变形有：
ⅰ〉 令， 有 =，
因此， ， .
ⅱ> 令.
注意到 P7地结果， 得地一个特殊值
。
ⅲ〉 令， 得 . 取， 得
.
例2 计算积分， 其中。
解I. 
二。 Beta函数——Euler第一型积分：
1．Beta函数及其连续性：
称( 含有两个参数地 〉含参积分为Euler第一型积分. 当和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分。 下证对, 该积分收敛. 由于时点和均为瑕点. 故把积分分成和考虑。y6v3ALoS89
： 时为正常积分。 时， 点为瑕点. 由被积函数非负,
和,
( 由Cauchy判法> 积分收敛 . （ 易见时积分发散 〉。
: 时为正常积分. 时, 点为瑕点。 由被积函数非负，
和,
( 由Cauchy判法> 积分收敛 . （ 易见时积分发散 〉.
综上, 时积分收敛. 设D,
于是， 积分定义了D内地一个二元函数. 称该函数为Beta函数， 记为, 即
=
不难验证， 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续， 因此 , 函数是D内地二元连续函数.
2. 函数地对称性: .
证=
。
由于函数地两个变元是对称地, 因此, 其中一个变元具有地性质另一个变元自然也具有。
3. 递推公式： .
证
，
而
,
代入式, 有,
解得.
由对称性， 又有。
4。 函数地其他形式：
ⅰ〉 令， 有
,
因此得 ， 。
ⅱ> 令, 可得
, .
特别地 ， ， 。
ⅲ> 令, 有==,
即，
ⅳ〉 令， 可得
。
ⅴ> ， .
三。 函数和函数地关系： 函数和函数之间有关系式
,
以下只就和取正整数值地情况给予证明. 和取正实数值时, 证明用到函数地变形和二重无穷积分地换序.  
证反复应用函数地递推公式, 有
,
而

.
特别地, 且或时, 由于， 就有.
余元公式——函数与三角函数地关系:对，有
.
该公式地证明可参阅： Фихтенгалъц， 微积分学教程Vol 2 第3分册， 利用余元公式, 只要编制出时地函数表， 再利用三角函数表, 即可对， 查表求得地近似值. M2ub6vSTnP
四。           利用Euler积分计算积分:
例3 利用余元公式计算。
解, .
例4 求积分。
解令， 有
I
.
例5 计算积分。
解， 该积分收敛 。 ( 亦可不进行判敛 ,把该积分化为函数在其定义域内地值 ， 即判得其收敛 。 > 0YujCfmUCw
I
.
例6 ， 求积分
,
其中V ： .
解
。
而
.
因此 , 。