高三理科数学综合测试题附答案(2).doc

数学检测卷（理）
姓名----------班级----------总分------------
一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的 ．
1．若集合，则（ ）
（A） （B） （C） (D)
2．直线关于轴对称的直线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，
其参考数据如下：
f (1) = －2
f (1.5) = 0.625
f (1.25) = －0.984
f (1.375) = －0.260
f (1.4375) = 0.162
f (1.40625) = －0.054

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
输入a,b
a>=b?
S=0，i=1
a=b

否
i>a?
输出S
否
是
是
（第6题）
4. 设, 若
,则的值等于（ ）
(A) (B) 1 (C) 2 (D)2
5.在等差数列中，则
A．24 B．22 C．20 D．-8
6. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（ ）
(A) (B) (C) (D)
7. ．直线上的点到圆上的点的最近距离是
A． B． C． D．1
8. 已知，，若向区域上随机投一点， 则点落入区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.已知平面，直线m、l，点A，有下面四个命题：
①必为异面直线；
②若l∥α，l∥m，则m∥α；
③若；
④若。
其中正确命题的个数是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
10．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知方程（且）有两个实数根，其中一个根在区间内，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则三个三角形面积之和
的最大值为（ ）
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32

二．填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卷的相应位置．
13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样
本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 _______ .
14. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 _______ .
15. 有下列命题：
①存在使；
②存在区间（a，b）使为减函数而＜0；
③在其定义域内为增函数；
④既有最大、最小值，又是偶函数；
⑤最小正周期为π.其中错误的命题的序号为 .

16. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 ________ .
三． 解答题: 本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（本小题满分12分）
某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.
（Ⅰ）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
（Ⅱ）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，此时该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望E.

18．（本小题满分12分）
已知数列的前项n和为，对一切正整数n，点(n, )都在函数的
图象上.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前n项的和

19. （本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点，
（1）求证：；
（2）若的大小；
（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）
已知函数和(a、为常数)的图象在处有公共切线.
(Ⅰ) 求a的值；
(Ⅱ) 求函数的极大值和极小值.
（Ⅲ）若关于的方程有且只有3个不同的实数解，求的取值范围。

21. （本小题满分12分）
设直线过抛物线：的焦点，且交于点，
x
y
O
（第21题）
设．
（Ⅰ）若，，求所在的直线方程；
（Ⅱ）若，，求直线在轴上截距的取值范围;
（Ⅲ）抛物线的准线与轴交于点，求证：与的夹角为定值.

22选做题：本大题共3小题，请从这3题中选做1小题，如果多做，则按所做的第一题记分．每小题10分．

1．（几何证明选讲）如图，⊙O1与⊙O2交于M、N两点，直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E．求证：AB·CD＝BC·DE．

2．（坐标系与参数方程）求经过极点三点的圆的极坐标方程.

3．（不等式选讲）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|恒成立，试求实数x的取值范围．

数学（理科）答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
C
A
C
C
D
C
A
A
B
C 解：f(1.40625)=－0.054< 0，f(1.4375)=0.162> 0 且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.150 14. ①②③⑤ 15、 16、
三、解答题
17（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的, 则其概率为
…………………………………………5分
（Ⅱ）随机变量
……………………6分
…………………………7分
………………………………8分
∴随机变量的分布列为

2
3
4
P

∴…………………………12分

（18）（本小题满分12分）
（I）由题意，，
当时，， ……………………………3分
当时，也适合上式，
∴ 数列的通项公式为 . ………………………………5分

（II）∵ •
∴ ①
2 ② ……………………7分
②－① 得， ………………………8分

……………………12分

19（本题满分12分）
解：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。
----3
（2）

（3）取中点，连结 -------8
---12
解法二：（1）同解法一；
（2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系

二面角的大小为 ---------------8分
（3）由已知，可得点

即异面直线所成角的余弦值为------12分
20解：（Ⅰ）,，根据题意，得
解得. 　┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 　2分
（Ⅱ）。
令，得. 　┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
∵时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增。∴的极大值为，的极小值为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
(Ⅲ)根据题意，的图象应与轴有三个公共点。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 　11分
由（Ⅱ）的结论及在时，在时，知方程有且只有3个不同的实数解的充要条件为　
解得┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 　12分

21．(本小题满分12分)
(Ⅰ) 时, 抛物线, (1,0), 设
由题设 得 即
由②得， ∵ ∴③
联立①、③解得, ，依题意有
∴ 而(1,0), 当时,
得直线的方程为或; --- 4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)及得直线方程为
当时，在轴上的截距为
令则
可知在[4，9]上是递减的，
∴
直线在轴上截距的变化范围为 ---8分
(Ⅲ) 证法一：设在直线上的射影为，
则有：，,
由于, 所以,
因为，所以．
即与的夹角为(定值). --- 12分
证法二：设直线方程为，联立方程，通过代换得证．

22、1、证明：因为A，M，D，N四点共圆，所以．
同理，有．所以，
即，所以AB·CD＝BC·DE．…………………………10分

2、解：将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，
故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，
圆的直角坐标方程为，即，…………5分
将代入上述方程，得，
即. ……………………………………………………………10分

3.解：由题知，恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值
∵当且仅当（a＋b）(a－b) ≥0时取等号
∴的最小值等于2. 5分
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解
解不等式得

9