第五章5.4分式方程.doc

年 级八年级学 科数学版 本北师大版课程标题第五章 5。4 分式方程编稿老师王长远一校林卉二校黄楠审核郑建彬一、考点突破1. 掌握分式方程的概念.2. 掌握解分式方程的一般方法和步骤，增根产生的原因及验根的必要性.3。 掌握列分式方程（组）解应用题的一般步骤并能解决实际问题。 二、重难点提示重点：掌握分式方程的解法与步骤，掌握列分式方程解应用题的步骤。难点：解分式方程的思想转化以及验根的产生,审题时弄清题目中的等量关系列出分式方程.微课程1：分式方程【考点精讲】考点1：分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程与整式方程都是含有未知数的等式，它们的根本区别就在于分母中是否含有未知数。考点2：列分式方程（组)的一般步骤:1. 审清题意；2。 设未知数；3. 根据题意找等量关系,列出分式方程。【典例精析】例题1 下列方程中,分式方程有（）个.(1）;（2）；（3）;（4)。A. 1 B。 2 C。 3 D. 以上都不对思路导航：根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程来判断.答案:解:(1）不是等式，故不是分式方程；（2）是分式方程；（3)是无理方程，不是分式方程；(4）是分式方程。故选B。点评：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，本题(3）虽然分母含有未知数，但是是根式，不是整式，故不是分式方程.例题2 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？思路导航：要求的未知量是人数,有捐款总额，一定是根据人均捐款额来列等量关系的.关键描述语是：两次人均捐款额相等。等量关系为:第一次人均捐款额第二次人均捐款额,也就是:第一次的捐款总额第一次的捐款人数第二次的捐款总额第二次的捐款人数。答案：设第一次捐款人数为x人，第二次捐款人数为x20人，由第一次人均捐款额第二次人均捐款额,故可得：点评:题中一般有三个量，已知一个量,求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的。根据关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键。例题3 一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两港的距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7。25小时,如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？思路导航：题中等量关系为：从A港顺流而下直达B港所用的时间1小时从B港出发逆流返回到A港共用的时间7.25小时,据此列出方程即可。答案：设水流速度是x千米/时，由题意，得点评:本题考查了由实际问题抽象出分式方程。找到所求量的等量关系是解决问题的关键。本题需注意时间等于相应的路程相应的速度；顺流速度静水速度水流速度;逆流速度静水速度水流速度。【总结提升】分式方程要点诠释:1. 分式方程的三个重要特征:是方程；含有分母；分母里含有未知量。2。 分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程,如：关于的方程和都是分式方程,而关于的方程和都是整式方程。微课程2：分式方程的解法及增根【考点精讲】考点1：解分式方程的一般方法和步骤：(1）去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。（2)解这个整式方程。（3)验根:把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根,使最简公分母等于零的根是原方程的增根。注:分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程,但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零.考点2：增根产生的原因：对于分式方程，当分式中分母的值为零时,无意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制就取消了，换言之，方程中未知数的值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。【典例精析】例题1 解分式方程:。思路导航：观察可得最简公分母是x（x2），方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解。答案：解：原方程即:，方程两边同时乘以得：,化简得：，解得：，把代入，故方程的解是：。点评：本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想，把分式方程转化为整式方程求解。（2)解分式方程一定要注意验根。例题2 解分式方程：。思路导航：根据原方程的特点，把x23x看作整体，用y代替，转化为关于y的分式方程，去分母得一元二次方程。答案：解：令，得，化简，解之,由,得，解之得,由，得，解之得,经检验，均为原方程的根.点评:本题考查了换元法解分式方程,用换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易,对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧。例题3 增根:在分式方程的变形过中，有时可能会产生不适合原方程的根，这个根叫做原分式方程的增根，这个根叫做原分式方程的增根。请根据此知识，解决下述问题.若分式方程有增根,试求m的值。思路导航：分式方程会产生增根,即最简公分母等于0，则x290，故方程产生的增根有两种可能：x13，x23，由增根的定义可知，x13，x23是原方程去分母后化成的整式方程的根,把其代入整式方程即可求出m的值。答案：解:方程两边都乘（x3）（x3），得2（x3）mx3（x3）原方程有增根，x290,解得x13，x23,当x3时,m4，当x3时，m6。m4或6。点评：(1）增根的求法：令最简公分母为0;(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可.【总结提升】增根与无解的区别当a为何值时，关于x的方程会产生增根？解：方程两边都乘以（x2）(x2)，得2（x2）ax3（x2）整理得（a1)x10 若原分式方程有增根，则x2或2是方程的根.把x2或2代入方程中，解得，a4或6。【说明】做此类题时首先将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。若将此题中的“会产生增根改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a1）x10本身无解的情况，解法如下:方程两边都乘以（x2）(x2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程无解,则有两种情形：(1）当a10(即a1）时，方程为0x10，此方程无解，所以原方程无解。(2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解。原方程若有增根，增根为x2或2，把x2或2代入方程中,求出a4或6。综上所述，a1或a一或a6时,原分式方程无解.结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判断方程的解的情况有一定的指导意义.微课程3：分式方程的应用【考点精讲】考点1:一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤:1. 审清题意；2。 设未知数；3. 根据题意找等量关系，列出分式方程;4. 解分式方程，并验根；5。 检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案。考点2：列分式方程（组）解应用题的规律方法指导： 1. 一般地,解分式方程时,去分母后所得的整式方程有可能使原方程中的分母为0，因此应按如下方法检验：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解,否则，这个解不是原分式方程的解.2. 列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数,设未知数对后面的列方程起着关键作用,对于一道应用题,首先考虑设直接未知数,如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，即把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数,求出该数后，再求出要求的数。【典例精析】例题1 某校九（1）、九(2）两班的班长交流了为地震灾区捐款的情况：（）九（1）班班长说：“我们班捐款总数为1200元,我们班人数比你们班多8人。”（)九(2）班班长说：“我们班捐款总数也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%。”请根据两个班长的对话,求这两个班级每班的人均捐款数。思路导航：首先设九(1)班的人均捐款数为x元，则九(2）班的人均捐款数为(120）x元,然后根据九（1）班人数比九（2）班多8人，即可得方程，解此方程即可求得答案。答案：解：设九(1）班的人均捐款数为x元,则九（2）班的人均捐款数为（120)x元，则：解得：x25,经检验，x25是原分式方程的解.九（2）班的人均捐款数为：（120）x30（元）答：九(1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元.点评：本题考查分式方程的应用。注意分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键。例题2 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺,购进时单价是第一批的倍，所购数量比第一批多100套。（1)求第一批套尺购进时单价是多少？（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出,可以盈利多少元?思路导航：(1）设第一批套尺购进时单价是x元/套，则设第二批套尺购进时单价是x元/套,根据题意可得等量关系：第二批套尺数量第一批套尺数量100套，根据等量关系列出方程即可；(2)两批套尺的总数量4两批套尺的总进价利润,代入数据进行计算即可。答案：解:（1）设第一批套尺购进时单价是x元/套。由题意得：，即，解得：。经检验:是所列方程的解。答：第一批套尺购进时单价是2元/套；(2）(元）.答：商店可以盈利1900元。点评:此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程。注意要检验。例题3 某商场计划购进冰箱、彩电进行销售。相关信息如下表：进价（元/台）售价(元/台）冰箱a2500彩电a4002000（1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值。（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的。该商场有哪几种进货方式？若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值.思路导航：(1）分别表示冰箱和彩电的购进数量,根据相等关系列方程求解;（2）设购进彩电x台，则购进冰箱（50x)台。根据题意列表达式组求解；用含x的代数式表示利润w，根据x的取值范围和一次函数的性质求解。答案：解：（1）根据题意得：解得a2000。经检验a2000是原方程的根；（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50x)台.根据题意得解得：25x,故有三种进货方式：1）购进彩电25台，则购进冰箱25台；2）购进彩电26台，则购进冰箱24台；3）购进彩电27台,则购进冰箱23台。一台冰箱的利润为：500元，一台彩电的利润为400元，故w400x500（50x）100x25000，w为关于x的一次函数，且为减函数,而25x，x取整数，故当x25时,获得的利润最大，最大为22500元.点评：此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是求出a的值，利用函数及不等式的知识进行解答。【总结提升】常见的实际问题中的等量关系1。 工程问题 工作量工作效率工作时间，工作效率，工作时间.完成某项任务的各工作量的和总工作量1。2. 行程问题 （1）路程速度时间 (2）在航行问题中，其数量关系是:顺水速度静水速度水流速度 逆水速度静水速度水流速度 （3）航空问题类似于航行问题。3。 营销问题 （1)商品利润商品售价一商品成本价；(2）。（3）商品销售额商品销售价商品销售量 （4）商品的销售利润（销售价一成本价）销售量 第六章 6。1 平行四边形的性质【学习目标】一、预习新知1。 平行四边形的性质如图,在平行四边形ABCD中,(1)两组对边分别_，即AB_CD,AD_BC。(2）两组对边分别_，即AB_CD，AD_BC。（3）两组对角分别_，即ABC_ADC，BAD_BCD。（4）对角线互相_，即OA_OC，OB_OD.（5)平行四边形相邻两边的和等于周长的_，平行四边形的面积等于底和底边上高的_。（6）平行四边形是_对称图形。2。 平行四边形的判定（1)边：两组对边_的四边形是平行四边形如图，该判定用几何表达为：_两组对边_的四边形是平行四边形如图，该判定用几何表达为：_一组对边_的四边形是平行四边形如图，该判定用几何表达为:_或：_（2)角：两组对角_的四边形是平行四边形如图，该判定用几何表达为：_（3）对角线：两条对角线_的四边形是平行四边形如图,该判定用几何表达为：_二、问题思考1. 平行四边形的性质有哪些？2。 平行四边形的判定有哪些?（答题时间：30分钟）分式方程1. 下列方程不是分式方程的是（)A. B。 C. D. 2. 下列各式中,不是分式方程的是（）A. B. C. D. 3. 下列式子中，是分式方程的是（）A。 B. C. D. 4. 下列方程中，是分式方程的是（)A. B。 C。 (a、b为常数)D. 5. 分式方程：_叫做分式方程。解分式方程的步骤：_。6。 1_（填“是”或“不是”）分式方程。7。 轮船在顺水中航行90km所用的时间与逆水中航行60km所用的时间相同,已知水流的速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。怎样列分式方程？8. 轮船顺水航行66千米与逆水航行48千米的时间相同。已知轮船在静水中的速度是每小时18千米，求水流速度。怎样列分式方程?分式方程的解法及增根1。 分式方程的根是（ ）A。 x1 B. x1C。 x2 D。 x22。 解分式方程时，去分母后变形为( ）A。 2（x2）3（x1) B。 2x23（x1)C. 2（x2）3(1x） D。 2（x2）3(x1）3. 分式方程的解是（ ）A. x0 B. x1C. x1 D。 无解4. 方程：的解是（ )A. x1 B。 x4C。 x11,x24 D. 以上答案都不对5. 分式方程的解是_。6。 请你给x选择一个合适的值，使方程成立,你选择的x_.7。 解方程：8。 解方程:（1）解分式方程:（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根。分式方程的应用1. 甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作。甲队单独工作2天完成总量的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了1天，总量全部完成。那么乙队单独完成总量需要（）A. 6天 B. 4天C。 3天 D. 2天2。 植树节时,某班学生平均每人植树6棵。如果单独由女生完成,每人应植树15棵，那么单独由男生完成，每人应植树()A。 9棵 B. 10棵C. 12棵 D。 14棵3. 一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2个参加，总费用不变，于是每人可少分摊3元,原来这组学生的人数是（）A. 15人 B. 10人C. 12人 D. 8人4. 某乡镇决定对一段长6000米的公路进行修建改造。根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员,每天修建的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务。设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（)A. B。 C. D。 5。 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产_台机器。6. 在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水的流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等。请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为_千米/时.7. 为改善生态环境,防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树.由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？8。 在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树？分式方程1。 D 解析：A. 分母中含未知数，所以它是分式方程;故本选项错误；B. 分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；C。 分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误;D。 分母中不含表示未知数的字母，所以它不是分式方程；故本选项正确;故选D。2. D 解析：A、B、C三个方程中的分母均含有未知数,是分式方程，故A、B、C均不符合题目要求；D中的式子不是方程，故本选项符合题目要求。故选D。3. C 解析：A. 不是等式,故不是分式方程；B。 分母中不含未知数，也不是分式方程；C. 方程分母中含未知数x，是分式方程；D。 分母中不含未知数，也不是分式方程；故选C。4. A 解析：A. 符合分式方程的定义，故本选项正确;B、C、D各方程中的分母不含未知数，故是整式方程。故选A。5。 分母中含有未知数的方程 去分母，将分式方程转化为整式方程；解整式方程；验根.解析:分母中含有未知数的方程叫做分式方程；解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程,最后要注意验根。6. 不是7。 解：设船在静水中的速度是x千米/小时。由题意得：.8。 解:设水流的速度为x千米/时。. 分式方程的解法及增根1. D 解析：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解。2。 D 解析：方程两边都乘以,得:。故选D.3。 D 解析:去分母得，（x1）2（x1）4，解得x1，把x1代入公分母得，x21110,故x1是原方程的增根，此方程无解。故选D.4. B 解析:方程两边同乘以(x1）（x1），去分母得63（x1）（x1)(x1），即x23x40，解得x11，x24，当x1时（x1）（x1)0，当x4时（x1)(x1）0，检验得x4为原方程的解，故选B。5. x3 解析：方程的两边同乘(x2）2，得x（x2）2（x2）2,解得x3。检验:把x3代入（x2）210。原方程的解为：x3。6。 3 解析:方程两边可同乘（x1）(x2)，得2(x2）x1，解得x3。经检验x3是原方程的解。7。 解：两边同时乘以(x1)（x2），得x(x2)（x1）(x2）3。 解这个方程，得x1。 检验：x1时(x1)(x2）0，x1不是原分式方程的解，原分式方程无解。 8。 解：(1）方程的两边同乘（x2），得（x1)3（x2）1,解得x1。检验：把x1代入最简公分母（x2）0，所以x1是原分式方程的根;（2)方程两边都乘以（x7）得：x8m8（x7），方程有增根，x70,x7.把x7代入x8m8（x7）中，得：m1。所以当m1时，原分式方程有增根。分式方程的应用1。 D 解析：设乙队单独完成总量需要x天，则，解得.经检验是分式方程的解，故选D。2。 B 解析：设单独由男生完成，每人应植树x棵，那么根据题意可得出方程：,解得:。检验得是方程的解.因此单独由男生完成,每人应植树10棵。故选B。3. D 解析:设原来这组学生有x人，那么出发时共有人,由题意可得出方程为：，两边同乘，得，整理，得,解得：或10。经检验，或10都是原方程的根，但不合题意，舍去.。故选D。4. C 解析：设原计划每天修建x米，因为每天修建的公路比原计划增加了50，所以现在每天修建,，即：，故选C。5. 200 解析:设现在平均每天生产x台机器,则原计划可生产台。依题意得：，解得：。检验：当时，。是原分式方程的解。答：现在平均每天生产200台机器。故答案为：200。6. 40 解析：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时。根据题意，得,即，解得。经检验,是原方程的根。答：该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时。7. 解：设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，由题意,得,解得：，经检验，是原方程的解。答：原计划每天种树40棵。8。 解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树棵.依题意得：，解得:，经检验：是方程的解，且符合题意。答：现在平均每天植树20棵.