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函数奇偶性的应用
一、　利用函数的奇偶性判断函数的单调性
1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断．
例．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
例．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
例 如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？
提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.
例．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有(　　)
A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2)
C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)
解析：∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)．
又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．答案：B
例 函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点
A． （a, －f(a)) B．（-a, －f(a))
C．（a, f(－a)) D．（-a, －f(a))
例．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，
f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，
即f(－π)>f(3)>f(－2)．
答案：f(－π)>f(3)>f(－2)
例．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是(　　)
A．f(－2)>f(0)>f(1)
B．f(－2)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－2)
D．f(1)>f(－2)>f(0)
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴f(－2)>f(1)>f(0)．
答案：B
　例．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则(　　)
A．f(－1)<f(－3)　　 B．f(0)>f(－1)
C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)
思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．
解析：函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．
由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．
选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．
选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．
同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)<f(－5)．
答案：A
例．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则(　　)
A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0
B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0
C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0
D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)
解析：利用减函数和奇函数的性质判断．
∵x1＋x2>0，∴x1>－x2.
又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数，
∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0.
同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0.
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
答案：B
例　（2009年陕西文科卷）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有．则 （ ）
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：A
例　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0.则当n∈N＋时，有(　　)
A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)　　　　　　 B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)
C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1) D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)
思路分析：先判断出函数f(x)的单调性，再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系．
解析：由(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．
又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈[0，＋∞)为减函数．
又f(－n)＝f(n)且0≤n－1<n<n＋1，
∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．
答案：C
例．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．
解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．
答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]
例 定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数为增函数，偶函数在区间[0，＋∞)上的图象与的图象重合，设＞＞0，给出下列不等式：
（1）f()－f(－)＞g()－g(－)；
（2）f()－f(－)＜g()－g(－)；
（3）f()－f(－)＞g()－g(－)；
（4）f()－f(－)＜g()－g(－)．
　 其中成立的是（ ）
A． (1)与(4)　　 B． (2)与(3)　　 C． (1)与(3)　　 D． (2)与(4)
解析：根据函数、的奇偶性将四个不等式化简，得：
（1）f()＋f()＞g()－g()； （2）f()＋f()＜g()－g()；
（3）f()＋f()＞g()－g()； （4）f()＋f()＜g()－g()．
再由题义，有 ＝＞＝＞．显然（1）、（3）正确，故选C．
【技巧提示】　　具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密．
二. 求函数的函数值和函数解析式
此类问题的一般解法是：
(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)
例　已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A．4　　　　　　　B．2　　　　　　　C．1　　　　　　　D．0
思路分析：以偶函数的图象特征进行判断．
解析：∵偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；若一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2，故f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.∴应选D.
例．已知是偶函数，且定义域为，则
例.已知函数，若为奇函数，则________。
例. 设（其中a,b,c为常数），且，试求f(2)的值。
解：设，易证g(x)是奇函数，故

于是
两式相加得：，即
例：已知且，那么
　例.已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋2x－3，求f(x)在x<0时的解析式．
解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∵x<0，∴－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－3＝－x3－2x－3.
∴f(x)＝－x3－2x－3(x<0)．
例.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.
（1）f(x)是偶函数；
（2）f(x)是奇函数.

例 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，。试求此函数的解析式。
解：（1）当x＝0时，，于是；
（2）当x<0时，，则，由于f(x)是定义在R上的奇函数，则

此函数的解析式为

例．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．
解(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如下图所示
由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，
减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)

例．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求x<0时，f(x)的表达式．
解：∵x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝x|x＋2|.
故当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.

　　 于原点对称，已知f(a)求f(－a)，可尝试利用函数的奇偶性．

　　 f(x)＝u(x)＋1，f(－x)＝u(－x)＋1，
　　 ∴ f(x)＋f(－x)＝u(x)＋u(－x)＋2．
　　 ∵ u(x)是奇函数，u(x)＋u(－x)＝0，
　　 ∴ f(x)＋f(－x)＝2，则

例. 设，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，，求f(x)的表示式。
解：f(x)是奇函数，有；g(x)是偶函数，有，则

即
两式相减得
例 设x∈(－1，1)，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝－2lg(1＋x)，求10f(x)和10g(x)的表达式．
　　 解：法一：与上例同
法二：∵x∈(－1，1)关于原点对称，又f(x)是偶函数f(－x)＝f(x)，g(x)是奇函数g(－x)＝－g(x)，设f(x)＋g(x)＝－2lg(1＋x)＝F(x)，则F(－x)＝－2lg(1－x)，而F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)，
　　 ∴2f(x)＝F(x)＋F(－x)
　　 ＝－2[lg(1＋x)＋lg(1－x)]
　　 ＝－2lg(1－x2)．

　　 又2g(x)＝F(x)－F(－x)
　　 ＝－2[lg(1＋x)－lg(1－x)]

三. 解不等式
例．若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，又在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集是________．
解析：

∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，则f(x)的简图如右图所示．
∴当x<0时，f(x)>0，
则x∈(－3,0)；
当x>0时，f(x)<0，
则x∈(0,3)．
答案：(－3,0)∪(0,3)
例. （2004年上海卷）设奇函数f(x)的定义域是［-5，5］。当时，f(x)的图象如图1，则不等式f(x)<0的解是______________。

图1
解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质，画出函数在区间［-5，5］上的图象如图2，易知不等式的解是。

图2
四. 函数的奇偶性的综合应用题
解决有关函数的奇偶性、单调性以及求字母取值范围的综合问题时，一般先利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．需要注意的是：在转化时，自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．
例　已知函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，若f(m)≥f(－2)，求实数m的取值范围．
解：函数f(x)是实数集R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．
当m<0时，由f(m)≥f(－2)，知m≤－2；
当m≥0时，由f(m)≥f(－2)，f(－2)＝f(2)，
可得f(m)≥f(2)，知m≥2.
故所求的m的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
例 函数f(x)是奇函数（x 0），当x （0，+∞）时是增函数，若=0，求不等式〈0的解集。
思路分析：由f(x)的奇偶性及函数在(0，＋∞)上的单调性，不难得出f(x)在(－∞，0)上的单调性．再将不等式两边化为函数值的形式，利用单调性便可脱去函数记号“f”，于是问题转化为解不等式．
答案
例 偶函数在定义域为R，且在（－∞，0]上单调递减，求满足＞ 的的集合．
解析：偶函数在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．
根据图象的对称性，＞等价于
＞．
解之，，
∴　满足条件的的集合为（－1，＋∞）．
例 y＝f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，且f(x)在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)＜0，试确定a的取值范围．
　　 解 因f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，故它在关于原点对称的两个区间(0，1)和(－1，0)上具有相反的单调性．而f(x)在(0，1)上是增函数，于是f(x)在(－1，0)上为减函数，且f(4－a2)＝f(a2－4)．
　　 根据已知f(a－2)＜f(4－a2)＝f(a2－4)，考虑几种情况：
　　 (1)当a－2和a2－4都在(0，1)上时，有

　　 (2)当a－2和a2－4都在(－1，0)上时，有

　　 (3)当a－2和a2－4分别在(－1，0)、(0，1)或(0，1)、(－1，0)时，相应的不等式组无解．

例 f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式f(x－)<f(2x－)．
解：(1)若a>b，则a－b>0，依题意有
>0成立，∴f(a)＋f(－b)>0.
又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数．则所求不等式等价于

例：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？
例. 已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中，且
（1）试求f(x)的解析式；
（2）问函数f(x)的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
解：知函数是奇函数，，则c＝0
由于，所以，又，又，于是
解得，又
所以b＝1，a＝1
所以
（2）设点（x0，y0）存在关于点（1，0）对称点（，y0），此两点均在函数的图象上，则
联立以上两式得，即，从而，当时，得；当时，得
即存在点（），（）关于点（1，0）对称。

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