《双曲线》文字素材2(苏教版选修2-1).doc

双曲线的几何性质概要
　　1．双曲线的几何性质（参考教材P39图2-3-5）
　　（1）范围：或，．
　　（2）对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点对称．
　　（3）顶点：这两个点称为双曲线的顶点，线段叫做双曲线的实轴，长为；线段（）叫做双曲线的虚轴，长为．
　　（4）渐近线：双曲线特有的性质，方程为．
　　等轴双曲线：，它的渐近线方程为，离心率．
　　（5）离心率：离心率，随着的增大，双曲线开口逐渐变得开阔．
　　对渐近线的理解应掌握以下几点：
　　（1）“渐近”的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与两条渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，但永不相交．
　　（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．
　　∵，
　　∴把标准方程中的“１”用“０”替换即可得出渐近线方程．
　　（3）双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小程度的．所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是，因此可求出离心率的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即．但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解．
　　2．特别提示
学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质．

双曲线系的三种形态

1．过已知定点A、B的双曲线系
例1 求过两点，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
解：设所求双曲线为．
∵双曲线过，，
∴解得．
故所求双曲线方程为．
2．
与椭圆共焦点的双曲线系
例2 求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线方程．
解：设所求双曲线为，
将点代入解得．
故所求双曲线方程为．
3．与双曲线共渐近线的双曲线系
例3 求与双曲线有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程．
解：设所求双曲线为．
当时，，，，
则，解得．
此时所求双曲线方程为；
当时，，，，则，
解得．
　　此时所求双曲线方程为．
双曲线07高考

第1题. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
答案：

第2题. (2007海南、宁夏文)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　　　．
答案：

第3题. (2007湖南理)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

．
因为是与无关的常数，所以，即．此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有……………………………………①
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．…………………………②
． ………………………………③
由①②③得．……………………………………………………………④
． ……………………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有，．
以上同解法一的（II）．

第4题. (2007湖南文)已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．
（I）证明为常数；
（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
答案：解：由条件知，设，．
（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入，有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

．
综上所述，为常数．
（II）解法一：设，则，，
，．由得：
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有
．整理得．
当时，点的坐标为，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．

第5题. (2007江苏)在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ　

第6题. (2007江西理)

设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．
答案：解法一：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．
方程为：．
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．
即，因为，所以．
②当不垂直于轴时，设的方程为．
由得：，
由题意知：，
所以，．
于是：．
因为，且在双曲线右支上，所以
．
由①②知，．
解法二：（1）同解法一
（2）设，，的中点为．
①当时，，
因为，所以；
②当时，．
又．所以；
由得，由第二定义得
．
所以．
于是由得
因为，所以，又，
解得：．由①②知．

第7题. (2007江西文)

设动点到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案：解：（1）在中，

（小于的常数）
故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）方法一：在中，设，，，．
假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，
则
由⑤得，

，

故存在满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得

所以，．
则．①
由，可设，
则，．
则．②
由①②得．③
根据双曲线定义可得，．
平方得：．④
由③④消去可解得，
故存在满足题设条件．

第8题. （全国卷I理）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
A． B． C． D．
答案：A

第9题. (2007全国I文)已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：A

第10题. (2007全国II理)设分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B

第11题. (2007全国II文)设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B

第12题. (2007陕西理)已知双曲线（，），以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
答案：D

第13题. (2007浙江理)已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：B

第14题. (2007浙江文)已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：B

第15题. (2007湖北理)双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A

第16题. (2007安徽理)如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：D

第17题. (2007天津理)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：D

第18题. (2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A

第19题. (2007福建文)以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：B

第20题. (2007广东文)．在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是 ．
答案：

第21题. (2007辽宁文)双曲线的焦点坐标为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：C

第22题. (2007山东理)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．
答案：

第23题. (2007上海文)以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是
．
答案：

第24题. (2007四川理)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
答案：A

第25题. (2007四川文)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　）
（A）　　　（B） 　　（C）　　　（D）
答案：A

第26题. (2007天津文)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：D