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第五章 分式与分式方程
1认识分式（一）
教学目标
1、能用分式表示现实情境中的数量关系.
2、 了解分式的概念，明确分式与整式的区别.
3、理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件。
重点、难点
重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件。
难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件
教学方法
互动探究法
教学过程
一、探索新知
1、 问题1：课本P108“土地沙化问题”
（1） 个 （2) 个
问题2：P108“做一做"
(1） 万人 (2） 册
问题3:（1)长方形的面积是10cm2，长为7cm,则宽为( cm2 ）
（2）长方形的面积为S，长为a，则宽为（ ）
2、观察代数式： ， ， ， 和，它们有什么共同特征?与整式有什么不同？
3、引入分式概念
一般地,用A、B表示整式，A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么称为分式。其中A称为分式中的分子，B称为分式中的分母。对于任意一个分式，分母不能为零
4、练习
（1）下列各式中，哪些是分式,哪些是整式？
① ② ③ ④ ⑤
5、分式与分数
①分式与分数都是的形式
②分数的分子与分母都是整数
③分式的分子与分母都是整式,且B中含有字母
④当分式中的字母取具体数时，它就成了分数。
二、讲例
1、例1（1）当时，分别求分式的值;
(2）当取何值时，分式无意义?有意义呢？
解：（1）当=1时，==2
当=2时，==1
当=—1时，==0
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，由分母，得，所以当时，分式无意义。除此之外，分式都有意义,所以当时，分式有意义。
2、补充练习：
（1）当取什么值时,分式有意义?
（2）当是何值时，分式的值是0？
（3）当是何值时，分式的值是0？
（4）若代数式的值为0，则的值是?
注：分式的值为0，则分子为0,且分母不能为0.
三、巩固练习
P109“随堂练习”及习题5.1第1—-5题。
四、课堂小结
五、布置作业

分式（二）
教学目标
1、经历探索分式基本性质的过程，了解并熟练掌握分式基本性质.
2、利用分式的基本性质对分式进行适当变形.
3、了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法。
4、了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式。
重点、难点
重点：掌握分式基本性质,并利用分式基本性质约分。
难点：分子、分母是多项式的约分.
教学过程
一、 复习引入
1、 下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？
, ， ，
2、 分数的基本性质是什么？怎样用式子表示?
分数的基本性质：一个分数的分子与分母同时乘以(或除以）一个不为0的数，分数的值不变。一般地,对于任意一个分数都有：
二、 讲解新课
1、 分式的基本性质
（1） 分式与相等吗? 与相等吗？ （相等）
（2） 归纳
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以)一个不为0的整式，分式的值不变.
,其中A、B、C是整式。
注：①所乘(或除以)的必须是同一个整式
②所乘（或除以）的整式不等于零。
2、 讲例
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） （2）
解:（1）因为，利用分式的基本性质，在的分子、分母中同时乘以,即可得到右边，即

(2）可以由分子、分母同时除以得到，即
3、分式的约分（约去公因式)
例2 化简下列各式:(1) （2)
解：(1）= （2）==
如果分子分母是多项式的分式，应先将它们分别分解因式。
4、最简分式
分式约分的目的是将分式化简。
化简的结果中没有公因式，这种分式称为最简分式.
因此，通常使结果化成为最简分式或整式。
如:（1） （2）
三、 练习
1、化简下列各式（1) (2)
2、(1）与有什么关系？与有什么关系？
（2)与有什么关系？与有什么关系?
3、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母不含“—”号
（1) (2） (3) (4）
4、不改变分式的值，使分子、分母的系数变为整数
（1) （2）
四、小结
1、分式的基本性质及化简
2、分式的变号法则：分式本身及其分子分子、分母这三处的正负号中，同时改变两处，分式的值不变，改变一处或三处，分式的值变为相反数.
五、布置作业
1．填空：
(1） = (2） =
(3) = (4） =
2．约分：
（1） （2) （3） （4）
3．通分：
（1）和 （2）和
(3）和 （4）和
4．不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“—”号。
（1） (2) （3） (4)
5．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号。
（1) (2）

分式的乘除法
教学目标
1、认识分式的乘除法,并理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
2、掌握简单分式的乘除运算,并能解决一些与分式乘除法有关的简单实际问题
重难点
重点：会用分式乘除的法则进行运算。
难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算及约分。
教学方法
引导探究法
教学过程
一、情境导入
1、观察下列算式
① ②
③ ④
猜一猜：
二、探究新知(“数”“式”相通）
1、分式的乘除法法则
（1）两个分式相乘,把分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
如:
（2）两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。
如：
2、约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
练习：计算
(1) （2） (3）
（4) （5）
三、补充练习
1、计算
(1） (2) （3）
归纳：如（3）分式乘除混合运算，将分式的乘除混合运算统一化成乘法运算,并判断运算的符号,能约分的要约成最简分式或整式。
2、已知,求（1） (2）
解:（1）因为，，所以两边同时除以，得，所以
（2）=(）2-2=(-3）2—2=7
四、拓展
若，求的值。
解:因为，所以设,()，
所以，原式=
五、课堂小结
六、布置作业

分式的加减法（一)
教学目标：
1、熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
2、会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减。
3、类比分数的加减运算学习分式的加减运算。
重难点
重点：熟练地进行同分母分式加减法及简单的异分母的分式加减法的运算。
难点：正确地运用运算法则，灵活运用解题技巧进行分式加减法的运算
教学过程
一、情境导入
1、计算:
2、
3、归纳:同分母分式加减,分母不变,把分子相加减。
如
4、练习
（1）=_______ （2) =________
5、简单的异分母分式相加减
（1）计算
(2)计算
★根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。
★异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减,先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
★异分母加减:先找最简公分母再通分转化为同分母加减，最后把结果化成最简。
练习：找最简公分母
（1）, （2）， (3），
例题3：计算
（1） （2） (3）
例题4：小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度是2vkm/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路,在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3 vkm/h。那么
（1)小刚从家到学校需要多长时间?
（2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间。
解：(1）小刚从家到学校需要
（2）小丽从家到学校需要。因为＞，所以小丽在路上花费的时间少
小丽比小刚在路上花费的时间少-=
二、巩固练习
1、P “随”1、2及习题 第1题。
2、某长途电话的收费方式如下:接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元，如果某人打该长途电话被收费8元,则此人打电话时间是______
三、补充习题
1、（1） （2） （3）
2、已知，求
三、布置作业（课后练习册)

分式加减（二）
教学目标
1、进一步掌握异分母的分式加减。
2、学会通分的方法，积累通分的经验。
重难点
重点：理解通分的意义,掌握异分母的分式加减运算
难点：正确通分，化异分母分式为同分母分式。
教学过程
一、讲例
1、例5：计算
（1） （2） (3）

例6：已知，求的值。

3、 做一做（P123）
解:(1)原计划需要天，实际用了天。
（3） 实际比计划缩短了天。
二、巩固练习
1、P123“随堂”第1、2题
2、先化简，再求值
当，时,求代数式的值。
3、已知，求分式的值。
三、布置作业
习题5。6第1、2、3、4题。

分式加减(三）
教学目标：
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算。
重点、难点
熟练地进行分式的混合运算。
教学过程
一、分式的混合运算
1、分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序:
分式的混合运算顺序：先乘方,再乘除，然后加减，如遇到有括号的，就先算括号内的,再算括号外的。最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式。
☆注：(1）对于分式的混合运算,应先将除法运算转化为乘法运算，异分母的转化成同分母再相加减.（2）要灵活运用交换律、结合律、分配律。
2、 讲例
（1） (2）

二、巩固练习
1、计算
(1） （2)
（3)
2、计算,并求出当-1的值.
三、拓展练习
1、已知，化简代数式并求值.
2、（1)由，，。。.你能总结出(n为正整数)的结果吗？
（2）化简
分式方程（一)
教学目标：
1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示.
2、了解分式方程的概念, 及发展学生分析问题、解决问题的能力。
重点、难点
根据实际问题中的数量关系列出分式方程。
教学过程
一、引例
甲乙两地相距1400,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9,已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
(2）如果设特快列车的平均行驶速度为/h，那么x满足怎样的方程？

(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？

二、做一做与议一议
P125 （1）“做一做”
解：
（2）“议一议” 观察下列方程有什么特点？

(3）分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
三、随堂练习
1、下列方程不是分式方程的是（ )
A、 B、 C、 D、
2、P125“随堂”第1、2题
四、小结
分式方程特征：①含分母,分母中含有未知数；②分式方程与整式方程统称为有理方程,如就不是分式方程
五、布置作业(习题5.7第1、2、3题)

分式方程（二）
教学目标
1、了解解分式方程的一般步骤以及解分式方程验证根的必要性。
2、让学生独立探索分式方程的解法,体会解分式方程的必要步骤。
重难点
重点：了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法。
难点：明确分式方程验根的必要性.
教学方法
启发式、引导式
教学过程
一、复习旧知，引入新课
1、解方程:（1） （2)
2、你能求出分式方程：的解吗?
二、探索新知
1、讲例
(1)
解：方程两边都乘以，得

解这个方程,得
检验：将代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边。
所以是原方程的根。
☆解分式方程的三大步骤:
①方程两边都乘以最简公分母，约去分母,化分式方程为整式方程。
②解这个整式方程
③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零。使最简公分母为零的根是原方程的增根,应舍去，使最简公分母不为零根才是原方程的根。
2、议一议
（1)解方程
解：方程两边都乘以，得

解这个方程得
检验，当时,
所以是增根，舍去
所以原方程无解

（2）增根
使原分式方程的最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去。
3、 例2解方程：
三、随堂练习
课本第128页“随”
四、补充习题
1、解方程：
2、关于的方程有增根,且，求的值。
3、关于的方程无解，求的值。
五、小结
六、布置作业
习题5.8第1、3、4题

分式方程（三）
教学目标
1、通过日常生活的情境创设,探索分式方程应用的过程，会验根.
2、进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
重难点
重点:会列出分式方程解简单应用题，并会检验根的合理性.
难点：寻求实际问题中的等量关系,正确列出方程。
教学过程
一、提出问题，引入新课
P129解:（1）等量关系 ：①第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500②第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数
③出租的房屋间数=所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金
（2)问题:①每年各有多少间房屋出租？②这两年每年房屋的租金各是多少？
二、探索新知
1、问题①:解：设每年有间房屋出租,那么第一年每间房屋的租金为 元
第二年每间房屋的租金为元，根据题意得
=+500 解这个方程得
经检验，是原方程的解,也符合题意
所以每年有12间房屋出租.
2、例题讲解
例3 解:设该市去年居民用水的价格为元/，根据题意得

解这个方程得
经检验,是原方程的根，也符合题意
（元/）
所以，今年居民用水的价格为2元/
练：一架飞机顺风飞行1380千米和逆风飞行1020千米所需的时间相等，已知这架飞机速度是每小时360千米，求风速。
分析：水流（风）速问题：
顺水（风）速度=船（风）速+水（风）速度
逆水（风)速度=船（风)速—水（风）速度

解：设风的速度为千米/时,根据题意得

解这个方程得
经检验，是原方程的根，也符合题意
所以风速为54千米/时。
3、列分式方程解应用题步骤:
①审题、分析；②设未知数；③根据等量关系列方程④解方程⑤检验根 ⑥答
三、巩固练习
1、P129“随”
2、当K为何值时，分式方程有解？
3、若分式方程的解是正数，求的取值范围.
四、小结
五、布置作业
习题5。9第1、2、3题