高中不等式试题和答案.doc

不等式
一、选择题：
1．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是
A．{x|0≤x＜1} B．{x|x＜0且x≠－1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x<1且x≠－1}
2．直角三角形ABC的斜边AB＝2，内切圆半径为r，则r的最大值是
A． B．1 C． D．
3．给出下列三个命题
①若，则
②若正整数m和n满足，则
③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．
当时，圆与圆相切
其中假命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
4．不等式|2x－log2x|＜2x＋|log2x|的解集为
A．(1，2) B．(0，1) C．(1，+∞) D．(2，+∞)
5．如果x，y是实数，那么“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．非充分条件非必要条件
6．若a＝，b＝，c＝，则
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
7．已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是
A． B． C． D．
8．设，函数，则使　的的取值范围是
A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
9．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则
A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥
10．设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，函数f(x)＝(x＋p)(x＋q)+2，则
A．f(2)＝f(0)<f(3) B．f(0)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(0)＝f(2) D．f(0)<f(3)<f(2)
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题：
11．对于－1<a<1，使不等式()<()2x+a－1成立的x的取值范围是_______ ．
12．若正整数m满足，则m ＝ 　．(lg2≈0．3010)
13．已知则不等式≤5的解集是 ．
14．已知a＞0，b＞0，且，则的最大值是 ．
15．对于，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是 ．

三、解答题：
16．(本题满分l2分)
设函数f(x)，求使f(x)≥的x取值范围．

17．（本题满分12分）
已知函数求使为正值的的集合．

18．（本题满分14分）
⑴已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；
⑵利用⑴的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时 的值．

19．（本题满分14分）
设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．
⑴解关于x的不等式f(x)<0；
⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．

20．(本题满分14分)
已知a>0，函数f(x)＝ax－bx．
⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)1，证明a2；
⑵当b>1时，证明对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件是b－1a2；
⑶当0<b1时，讨论：对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件．

21．(本题满分14分)
⑴设函数，求的最小值；
⑵设正数满足，证明
．
[不等]符号定，比较技巧深参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
C
A
B
C
C
B
A
二、填空题11．x≤0或x≥2；　12．155；13．； 14．；　15．②④
三、解答题
16．解：由于y＝2x是增函数，f(x)≥2等价于|x+1|－|x－1|≥， ①　　　　　……2分
(i)当x≥1时，|x+1|－|x－1|＝2。∴①式恒成立 ……5分
(ii)当－1＜x＜1时，|x+1|－|x－1|＝2x。①式化为2x≥，即≤x<1 ……8分
(i)当x≤－1时，|x+1|－|x－1|＝－2。∴①式无解
综上，x的取值范围是[ ，＋∞)。 ……12分
17．解：∵……………………………………………2分
………………………………………………4分

…………………………………………6分
……………………………8分
………………………………………………10分
又
∴………………………………………………12分
18．解：（1）应用二元均值不等式，得
，
故　　　　　　　．
当且仅当，即时上式取等号．……………………………………8分
（2）由（1）．
当且仅当，即时上式取最小值，即．……14分
点评：给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．
19．解：（1）由f(x)<0得，|x－m|<mx，得－mx<x－m<mx，即……2分
①当m＝－1时，x<－…………………………………………………3分
②当－1< m<0时，<x<……………………………………5分
③当m<－1时，x<………………………………………………7分
综上所述，当m<－1时，不等式解集为{x|x<}
当m＝－1时，不等式解集为{x|x<－}
当－1<m<0时，不等式解集为{x|<x<}………………………8分
（2）f(x)＝
∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0．
故f(x)存在最小值的充要条件是－1≤m<0，且f(x)min＝ f(m)＝－m2． ………14分
20．解：⑴对已知二次函数应用配方法，得，当x∈R时，f(x)＝ ，
于是，对任意x∈R都有f(x)1f(x)＝1 a2．………4分
⑵用f(x)、f(x)表示f(x)在[0，1]上的最大值、最小值，则对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1当且仅当 （*）
而 f(x)＝－b(x－+，（x[0，1]）
当2b时，0<1，f(x)＝ ，f(x)＝f(0)或f(1)；
当2b<a时，>1， f(x)＝ f(1)，f(x)＝f(0)．
于是(*) 或
b－1a2或xb－1a2．
故对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件是b－1a2．……………9分
(３)　由(２)的解答知，对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|1当且仅当
或
0<a2b或2b<ab+1 0<ab+1．
故当0<b1时，对任意x[0，1]，都有|f(x)|1的充要条件为0<ab+1．…14分
点评：含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一．读者在备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，反复思考参数的处理艺术．
21．解：对函数求导数：

于是
当在区间是减函数，
当在区间是增函数.
所以时取得最小值，，
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.
（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.
（ii）假定当时命题成立，即若正数，
则
当时，若正数
令
则为正数，且
由归纳假定知
①
同理，由可得
②
综合①、②两式

即当时命题也成立.
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.
证法二：
令函数

利用（Ⅰ）知，当
对任意

. ①
下面用数学归纳法证明结论.
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）设当n=k时命题成立，即若正数

由①得到

由归纳法假设

即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.