高二文科数学-复数.doc

高二文科数学 复数
1. 复数的概念及其表示形式：

通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.
两个重要命题：

（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平

这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：

在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：

注：复数的分类：
虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。

积或商的模可利用模的性质（1），（2）
（6）共轭复数的运算性质：

（7）复数的模的运算性质：

注：熟记常用算式：，，，，
2. 复数的运算：
（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）

简记为“分母实数化”。
特例：
利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。
（3）复数加法、减法的几何意义：
复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。 复数减法即向量的减法，满足三角形法则。
z1-z2对应的向量，是以z2的对应点为起点，指向z1的对应点的向量，|z1-z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点的距离，如： |z-i|表示z与i的对应的点的距离；
注：z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z对应的点的
轨迹是一个圆；， z对应的点的轨迹是一个椭圆；， z对应的点的轨迹是双曲线。
3. 复数与方程：
（1）含z的复数方程：可设出z的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。
（2）实系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
△>0时，方程有两个不等实根；△=0时，方程有两个相等实根；
△<0时，方程有两个互为共轭的虚根。其中 。
此时有且。
注意两种题型：
虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。
已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：
（1）当时，
(2)当时，
已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：
（1）当时，①即，则
②即，则
（2）当时，
韦达定理以及求根公式仍然适用。
（3）复系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
根的判别式不再适用，如x2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。但韦达定理以及求根公式仍适用。
［注］1. 解决复数问题，注意虚实转化的方法。 2. 解决复数问题，注意充分利用共轭，模的运算性质。
高二数学文科试题（复数）
一、选择题
1．设则复数为实数的充要条件是（ ）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
2．复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．若复数满足方程，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4．对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运算“”为：，运算“”为：，设，若则（ ）
A. B. C. D.
5．复数等于（ ）
A．　　　　B。　　　　C。　　　　D。
6．＝ ( )
（A）i （B）－i （C） （D）－
7．是虚数单位，（　 　）
A．　 　　 B．　　　C．　　　D．
8．如果复数是实数，则实数（ ）
A． B． C． D．
9．已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ ）
A． B. C. D.
10．在复平面内，复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题
11．已知__________
12．在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是 。
13. 设、为实数，且，则+=__________.
14．若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
15．已知则的值为________________
16．非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；
（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
① ②
③ ④
⑤
其中关于运算为“融洽集”_______________;（写出所有“融洽集”的序号）
18．已知复数满足，的虚部为 2 ，
（I）求；
（II）设，，在复平面对应的点分别为A，B，C，求的面积.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
B
D
A
A
B
D
D
11、2+i 12、直线y= -x 13、4 14、-1+i 15、i 16、①③
17、[解法一] ， ……4分
. ……8分
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ，]
所求的一个一元二次方程可以是. ……10分

[解法二] 设

，

得

， ……4分

以下解法同[解法一].

18、解：（I）设
由题意得

故将其代入（2）得

故或
故或 ……6分

（II）当时，

所以

当时， ，

……10分