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固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章 作者： 日期：20 个人收集整理 勿做商业用途黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第 j 个格波,在第 个格点引起的位移为，= anjjsin（j_j+ j） ,j为任意个相位因子,并已知在较高温度下每个格波的平均能量为,具体计算每个原子的平方平均位移.解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即n= nj= ajsin(jt naqj+j)jj（1)2n= jnj j*nj= j2nj+ njnjj j由于 njnj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以2= 2njnj由于 nj是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 2=1T02+12jajsin(t naqjjj）dta=j（2）T002已知较高温度下的每个格波的能量为 KT, nj的动能时间平均值为1LT1 d2 w a2T1= dx0nj=jj02+ =22TdtLasin（t naq)dtw LanjT000 2dt2T00jjjj4jj其中 L 是原子链的长度， 使质量密度，T0为周期。1221所以Tnj= w Lajj=KT（3）42KT因此 将此式代入(2）式有nj2= L2j所以每个原子的平均位移为2= 2= KT=KT1nnj L2L 2jjjjj3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应。解答(初稿）作者季正华 - 1 黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为 M 的原子位于 2n-1, 2n+1， 2n+3 质量为 m 的原子位于 2n, 2n+2， 2n+4牛顿运动方程：.m 2n= (22n 2n+1 2n1).。M 2n+1= (22n+1 2n+2 2n)体系为 N 个原胞,则有 2N 个独立的方程ina q方程解的形式：i2n=Aet(2） 2n+1=Be(2n+1）aqna q=将2n=Aet（2) 2n+1Beit(2n+1) aq代回到运动方程得到若 A、B 有非零的解，系数行列式满足:两种不同的格波的色散关系：第一布里渊区解答（初稿）作者季正华 2 - 第一布里渊区允许 q 的数目黄昆固体物理习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N。当 M=m 时两种色散关系如图所示在长波极限（q0,0)情况下：当 q0与一维单原子晶格格波的色散关系一致。3。3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 ca和 10 c令两种原子质量相同，且最近邻间距为 2 求在 k = 0 和Hk =a处的 ( ） 大略地画出色散关系此问题模拟如2 这样的双原子分子晶体。解 a/2 c 10c us12d uvs1(o)us（ovs)us+1ovs+1Ms= C Vs1 u+10C V u，dt22sssd V（） +（）Mdt2s= 10C usVsC us1+Vs,将us= ueisKa e i t，Vs= VeisKa ei t。代入上式有解答(初稿)作者季正华 - 3 2（黄昆固体物理习题解答+ eika )V Mu C1011Cu，2（ika+) u M V = C e1011CV ,是 U，v 的线性齐次方程组,存在非零解的条件为M 2 11 ， （10 + eiKa) =0,解出（iKa+ 10), M2 11CM242+22MC220C（1conKa) 02=C（） 11121 20 1conKa.M +2=C M22 /,220 /C M,当 K=0 时，2= 0,当 K= / a 时+2= 2 /C M , 2 与 K 的关系如下图所示这是一个双原子(例如 H2)晶体。3。4 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用 ,记第 l 行，第 m 列的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为 M，最近邻原子的力常数为 c。d2（a)证明运动方程为：M （,) = c(+2)+(dt2+ l1,ml1，m 2），,+1= （0） exp （，1,)（b）设解的形式为,i lk a mk axy t,这里 a 是最近邻原子间距，证明运动方程是可以满足的,如果2M = 2 2 cos(k ax） cos（kya） 这 就 是 色 散 关解答（初稿)作者季正华 - 4 - 系.黄昆固体物理习题解答2(c）证明独立解存在的 k 空间区域是一个边长为a的正方形，这就是平方格子的第一布里渊区，构出k kx ，而ky=0 时，和kx=ky时的 k 图.ca2 =1/ 2k2+ k 2 1/ 2=21/ 2（） (xy)ca Mk(/）（d）对于 ka 1,证明M 证 明 :（a) 左 方 原 子 与 它 的 相 对 位 移 为,，1， 右 方 原 子 与 它 的 相 对 位 移 为 ,下 方原子 与它 的相对 位移 为,+1 ，,上方 原子 与它的 相对 位移为,l1,ml+1，m , 并 考 虑到力 的 方 向性, 得 到 上面平 面 格 子的每 个 原 子的力 学 方程 为：d2M (，dt2) = c( ，+1，) c(， ,1)+c(+l1，m ，) c（， l1,m)所以原命题的证.= c（+ 2） (+ 2)l1，ml1,m,，+1，1，（b)根据题意，d2= (0) exp (i lk a mk axy t )为平面格子原子的运动方程M （,） = c(+2)+（dt2+ l1，ml1，m 2），的解，+1，1，因为，= （0） exp （i lk a mk axy t）所以可以得到l+1,m= (0) exp (+1)k a mk axy tl1，m=（0) exp ( 1)k a mk axy t= (0) exp (i lk a + （m +1)k a t），+1xy，1=(0） exp (i lk a + （m 1）k a t）xy将式代入平面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系（这里代入过程从略,请自己代入计算）:2M = 2 2 cos(k ax) cos（kya)解答（初稿）作者季正华 - 5 2黄昆固体物理习题解答（c)由色散关系M = 2 2 cos(k ax) cos（kya）和周期性边界条件可以得到 kx（,ky （， ,所以独立解存在的 ka aa a2空间区域是一个边长为a的正方形。当k kx，且ky=0 时的 k 图，和当kx=ky时的 k 图，如右图所示。3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为U r( ）= e2+n其中马德隆常数 1。75，n9,平均离子间距 r0= 2.82 。（1)试求离子在平衡位置附近的振动频率rr（2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 Nacl 红外吸收频率的测量值 61 进行比较。3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 （ ）解：设单原子链长度 LNaq=2hq=2Na波矢取值Na每个波矢的宽度NadqNa ,状态密度 2dq 间隔内的状态数 2，对应q， 取相同值 （ )dq2Nadq因此= 2解答（初稿）作者季正华 - 6 - 黄昆固体物理习题解答aq一维单原子链色散关系， 2=4sin （2）m20=4aq =0sin（)令m, =a2aq两边微分得到d0cos()dq22cos(aq) =1 2 =aaq22 0代入到d0cos()dq将22 =da2 22，=2ad 2Na2dq0= 2Na 22ad222202 （ ) =N01 22频率分布函数03.7 设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有( ) = 0 Aq2V1(0)1/ 2 求证：f （ ) =42A3/ 2 ，0；f ( ） 0,= 0。 =2=解：0时,0Aq0 ( ） 0, hgqB应用 e= +1x x+h。.2所以 eqk TB= 1hq+hq+。k TB k TB1h h + 因此 F Uh+ k Tl +1 1q U+ k Tlq2qBnk T0Bnk Tq其中U0 +U1q2hqqB12hB3。10 设晶体中每个振子的零点振动能为的零点振动能.，使用德拜模型求晶体证明：根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关,故 T=0K 时振动能 E0就是各振动模零点能之和。 E= mE( ） ( ） d将E（ ) =1h和 g ( ）=3V2 代入积分有3V09000292 2vs3E=4=hN，由于 h=k得E=NkD023m8mmB D0B16vs8一股晶体德拜温度为102K ,可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热解答（初稿)作者季正华 - 8 能相比拟黄昆固体物理习题解答3.11 一维复式格子 m = 5 1。67 1024g，104/), 求：（1)光学波 max0，min0，声学波 Amax 。（2）相应声子能量是多少电子伏。（3）在 300k 时的平均声子数。01M=4， = 1。5 10/m( 1.51(4)与max相对应的电磁波波长在什么波段。解（1）， Amax=2=2 1.5 104/24= 3。00 1013s1, （M）4 5 1。67 10()M m4 + 24/o=2=2 1。5 104 5 5 1。67 10=131max24246。70 10s2Mm2 1。5 1044 5 1。67 10 5 1。67 10/ A=131maxm A=245 1.67 1016 5。99 10131=s2ehmax6.58 105。99 10s1。97 10V o(2） hmax=6.58 101613s1=6。70 104.41 102eV ohminnA=16 6.58 10113s1=3.00 10= 0。873, nO23.95 101=eV= 0.221（3）maxnO=Aehmax1/k TB1= 0.276maxOehmax/k TB1minO/k T2ehminB1（4） = c=28.1 m解答（初稿）作者季正华 9 -