数学必修1-1第二章圆锥曲线与方程.doc

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第三章 圆锥曲线与方程
§1 椭 圆
1.1椭圆及其标准方程
（一)教学目标
1。知识与技能目标
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
2.过程与方法目标
能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．
3情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,
是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；
(二)教学过程
（1）引入
提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；
第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
（ii)椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
（iii）例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．．

作业:第27页练习1、2、3

1．2 椭圆的简单几何性质
（一)教学目标
1。知识与技能目标
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；
2.过程与方法目标
通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．
(二）教学过程
（1）引入
①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；
（2）新课讲授过程
（i）通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
(ii）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，,进一步得：，同理可得：,即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（），； ．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
扩展：已知椭圆的离心率为，求的值．
作业：第31页练习:第1、2

椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一:已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。

性质二:已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形,若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：,
在中,
=

性质三:已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则
证明:设则在中，由余弦定理得：

命题得证。
(2000年高考题)已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围.
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即，的范围是
性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：
由等比定理得:而， ∴。
例:已知椭圆的焦点是F1(－1，0）、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2|的等差中项．（1）求椭圆的方程;（2）若点P在第三象限,且∠PF1F2＝120°,求tanF1PF2．
解：(1)由题设2｜F1F2｜＝|PF1|＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为＝1．（2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ椭圆的离心率 则,整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)
∴故,tanF1PF2＝tanθ＝．
作业 第31页A组第4、5题
2。4.1抛物线及标准方程
【三维目标】
1、使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2、要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
3、培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
［教学过程］
复习与引入过程
如图2—29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
新课讲授过程
（i)由上面的探究过程得出抛物线的定义
(ii) 抛物线标准方程的推导过程
引导学生分析出：得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形（列表略)：
讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即:当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2;当对称轴为y轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号;当焦点在负半轴上时，取负号．
(iii)例题讲解与引申
例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
课本例题例1—例4
练习：第35页2题
作业：第37页1、2、3、

2。2 抛物线的几何性质
（两课时）

【三维目标】
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力
复习与引入过程
1．抛物线的定义是什么？
2．抛物线的标准方程是什么？
下面我们类比椭圆几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px（p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质
（2）新课讲授过程
（i)抛物线的几何性质
（1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸．
（2）抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3）抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
（4)抛物线的离心率
(5）抛物线的通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，其长为2p
（6）焦点弦的弦长：x1+x2+p
（ii）例题讲解与引申
．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0),则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m）到焦点的距离|MF｜与到准线的距离

得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M（-3，m)在此抛物线上，故m2=—8(—3)．

例4　 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A（x1,y1）、B（x2，y2)(图2—34）．

练习：第37页：1、2、3
作业：第37页 B 组2、3题

§3双曲线
3．1　双曲线及其标准方程
【三维目标】
1、理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
2、 培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力
3、培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
【教学过程】
（1）预习与引入过程
多媒体演示画出画双曲线的图形．启发性提问：在这一过程中，你能说出动点满足的几何条件是什么？
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于)的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集．
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问:已知椭圆的图形,是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆:设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．
（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为,,双曲线上一点到，距离差的绝对值等于,求双曲线的标准方程．
练习：第40页练习第1题
作业：第43页Ａ组1、2、3

3。2双曲线的简单几何性质
（两课时）

【三维目标】
1、 了解平面解析几何研究的主要问题:（1）根据条件，求出表示曲线的方程；(2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；2、
2、 培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．
培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
3、培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
【教学过程】
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围;②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念;
（2）新课讲授过程
（i)通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问:研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（ii)双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，,进一步得：,或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
（④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线;）
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率(）．
（iii）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为,上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系,求出双曲线的方程（各长度量精确到)．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定．
，则容易得点的轨迹方程．
练习：第４３页练习第2题
作业：第４３页第４　５　６题

§4曲线与方程
4.1曲线与方程及求曲线的轨迹方程
一、教学目标
（一）知识教学点
使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．
二、教材分析
1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．
（解决办法:对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．
(解决办法:先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．）
教具准备：与教材内容相关的资料.
教学设想：激发学生的学习热情,激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
三、教学过程
学生探究过程：
(一)复习引入
大家知道,平面解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过方程,研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
(二）几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1 求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

3．相关点法（代入法）
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0,y0）的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代入法)．
例3　 已知抛物线y2=x+1,定点A（3,1）、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动,因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
(三)巩固练习
用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．
1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，—6)，另两边斜率的

2．点P与一定点F(2，0）的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？
3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．
五、布置作业
作业 课本４８页 A组 ５，６,７

4。2圆锥曲线的共同特征
教学目标:
1．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
2．能力目标:培养学生分析问题和解决问题的能力及探索和创新意识。
教学重点:双曲线的第二定义
教学难点：双曲线的第二定义及应用.
教学过程：
一、复习引入:
二、新课教学:
1、引例：课本P86例2
F2
F1
H
H
x
o
y
【思考交流】点M(x，y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线的距离之比是常数，求点M的轨迹方程.
由例6可知:定点F（5,0)为该双曲线的焦点,定直线为，
常数为离心率〉1。

［提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c，0）距离和它到定直线的距离之比是常数，求点M的轨迹方程。
解：设是点M到直线的距离， 根据题意，所求轨迹就是集合P={M｜｝， 即 化简得两边同时除以得

2、小结： 圆锥曲线的统一定义：当动点M(x，y) 到一定点F（c,0)的距离和它到一定直线的距离之比是常数e=c/a时,当0<e<1时这个动点M（x，y)的轨迹是椭圆，当e〉1时是双曲线，当e=1时是抛物线。其中定点F(c，0)是圆锥曲线的一个焦点，定直线叫圆锥曲线的一条准线，常数e是圆锥曲线的离心率.
三、课堂练习
1． 求的准线方程、两准线间的距离.
2、(2006年广东高考第8题选择题）已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点
的距离与点 P 到右准线的距离之比等于（ )。
（A) (B) (C） 2 （D） 4

练习87页1、2
五、教学反思:
(1）圆锥曲线的统一定义及应用.(2） 数学方法：类比法,（3） 数学思想: 从特殊到一般
六、作业：
1、双曲线的一条准线是y=1，则的值。
2、求渐近线方程是4x，准线方程是5y的双曲线方程．
3、已知双曲线的离心率为2，准线方程为，焦点F(2，0)，求双曲线标准方程。

4.3 直线与圆锥曲线的交点
【教学目标】
(1）使学生掌握直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．
(2）熟练的运用弦长公式,中点坐标,韦达定理解决直线与圆锥曲线的关系问题；
(3）能够灵活的运用数形结合解决直线与圆锥曲线中的客观题.
[教学过程]
(一)直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f（x，y）＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件．
（二)．应用

求m的取值范围．
解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．
解法二：由于直线过定点（0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点（0,1）必在椭圆内部或边界上,由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．
小结:解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷．

称,求m的取值范围．
解法一：利用判别式法
解法二:利用点差法．
例3课本第88页
(三）小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．
五、布置作业
第４８页Ｂ组１，２题