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其次章测试题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
解析 由条件可知＝7，∴p＝14，抛物线开口向右，故方程为y2＝28x.
答案 B
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依题意知c＝1，e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.
答案 D
3．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
解析 由e2＝2＝＝1＋m>2，m>1.
答案 C
4．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0) B．(，)或(，－)
C．(0,3)或(0，－3) D．(，)或(－，)
解析 |PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝25.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，
此时P点是短轴端点，故选C.
答案 C
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于简洁题．
依题意知⇒a2＝9，b2＝27，
所以双曲线的方程为－＝1.
答案 B
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A，P，N三点共线时取等号，
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排解A、C、D项，故选B.
答案 B
7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4或－4 B．－2
C．4 D．2或－2
解析 由题可知，－(－2)＝4，∴p＝4.
∴抛物线的方程为x2＝－8y.
将(m，－2)代入可得m2＝16，
∴m＝±4.故选A.
答案 A
8．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则A，B，又|AB|＝－＝＝3，∴2b2＝3a.又a2－b2＝c2＝1，∴a＝2，b＝.故C的方程为＋＝1.
答案 C
9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
解析 直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．
答案 B
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，
又由d1,2c，d2成等差数列，
∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝＝.
答案 A
11．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝y－ B．x2＝2y－
C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2
解析 由y＝x2⇒x2＝4y，焦点F(0,1)，
设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，
则∴x2＝2y－1.
答案 C
12．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(1,3] D．(1,2]
解析 ＝
＝|PF1|＋＋4a≥8a，
当|PF1|＝，即|PF1|＝2a时取等号．
又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a.
∴c≤3a，即e≤3.
∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
解析 由题意知＝，解得b＝1.
答案 1
14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
解析 若焦点在x轴上，则a＝4，
由e＝，可得c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，
椭圆方程为＋＝1；
若焦点在y轴上，则b＝4，
由e＝，可得＝，∴c2＝a2.
又a2－c2＝b2，∴a2＝16，a2＝64.
∴椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1，或＋＝1
15．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．
解析 由题设知
②－①2得|PF1|·|PF2|＝2.
∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1.
答案 1
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析 如图，设双曲线一个焦点为F，
则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.
∴c＝2a，∴e＝＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
解 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ＝.
18．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．
解 由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆的方程为＋＝1(a>5)，双曲线方程为－＝1.
∵点P(3,4)在椭圆上，∴＋＝1.解得a2＝40或a2＝10(舍去)．∴椭圆的标准方程为＋＝1.
又过点P(3,4)的双曲线的渐近线方程为y＝x，即4＝×3，∴b2＝16.∴双曲线的标准方程为－＝1.
19．(12分)已知椭圆方程为＋＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．
解 设存在点P(x，y)满足题设条件，则
|AP|2＝(x－a)2＋y2.
又∵＋＝1，∴y2＝4(1－)．
∴|AP|2＝(x－a)2＋4(1－)
＝(x－a)2＋4－a2.
∵|x|≤3，当|a|≤3，又0<a<3
即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2.
依题意，得4－a2＝1，∴a＝±∉，
当a＞3，即＜a＜3.
此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.
依题意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)．
故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.
(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；
(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．
解 (1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，
则由题意易知，△OED为直角三角形，
且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝，
∴|ED|＝＝c(c为椭圆C的半焦距)．
∴椭圆C的离心率e＝＝cos＝.
(2)由(1)知，＝，
∴可设a＝2m(m>0)，则c＝m，b＝m，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
∴A(0，m)，∴|AF|＝2m.
直线AF的斜率kAF＝，∴∠AFB＝60°.
在Rt△AFB中，|FB|＝＝4m，
∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，
∵△AFB为直角三角形，
∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，
∵圆Q与直线l：x＋y＋3＝0相切，
∴＝2m.
∵m是大于0的常数，∴m＝1.
故所求的椭圆C的方程为＋＝1.
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
解 (1)由e＝ ＝，得a2＝c2.
又a2－b2＝c2，∴a2＝3b2.
故椭圆的方程为x2＋3y2＝3b2.
又椭圆上的点P(x，y)到点Q(0,2)的距离
d＝＝
＝
∴当y＝－1时，有＝3，解得b＝1.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，
当∠AOB＝90°，S△AOB取最大值，
此时点O到直线l距离d＝＝，
∴m2＋n2＝2.又∵＋n2＝1，
解得：m2＝，n2＝.
∴点M的坐标为或或
或.
故存在点M，使△AOB的面积为.
22．(12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．
解 (1)∵＝，且c＝，
∴a＝，b＝＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知P(0，t)(－1<t<1)，
由得x＝±，
∴圆P的半径为.
∴＝|t|，解得t＝±.
∴点P的坐标是(0，±)．
(3)由(2)知，圆P的方程为
x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．
∵点Q(x，y)在圆P上，
∴y＝t±≤t＋.
设t＝cosθ，θ∈(0，π)，
则t＋＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)，
当θ＝，即t＝，且x＝0，y取最大值2.
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