2020-2021学年人教A版高中数学选修1-1：第二章-圆锥曲线与方程-单元同步测试.docx

其次章测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为()Ax228yBy228xCy228x Dx228y解析由条件可知7，p14，抛物线开口向右，故方程为y228x.答案B2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析依题意知c1，e，a2，b2a2c23.故椭圆C的方程为1.答案D3双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是()Am Bm1Cm1 Dm2解析由e221m2，m1.答案C4椭圆1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是()A(5,0)或(5,0) B(，)或(，)C(0,3)或(0，3) D(，)或(，)解析|PF1|PF2|2a10，|PF1|PF2|()225.当且仅当|PF1|PF2|5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.答案C5已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于简洁题依题意知a29，b227，所以双曲线的方程为1.答案B6在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)解析如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排解A、C、D项，故选B.答案B7已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4或4 B2C4 D2或2解析由题可知，(2)4，p4.抛物线的方程为x28y.将(m，2)代入可得m216，m4.故选A.答案A8已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析依题意可设椭圆的方程为1(ab0)，则A，B，又|AB|3，2b23a.又a2b2c21，a2，b.故C的方程为1.答案C9动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过点()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，2)解析直线x20是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)答案B10椭圆1(ab0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析由椭圆的定义可知d1d22a，又由d1,2c，d2成等差数列，4cd1d22a，e.答案A11已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax2y Bx22yCx22y1 Dx22y2解析由yx2x24y，焦点F(0,1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，则x22y1.答案C12已知F1，F2是双曲线1(ab0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(1,3 D(1,2解析|PF1|4a8a，当|PF1|，即|PF1|2a时取等号又|PF1|ca，2aca.c3a，即e3.双曲线的离心率的取值范围是(1,3答案C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13若双曲线1(b0)的渐近线方程为yx，则b等于_解析由题意知，解得b1.答案114若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为_解析若焦点在x轴上，则a4，由e，可得c2，b2a2c216124，椭圆方程为1；若焦点在y轴上，则b4，由e，可得，c2a2.又a2c2b2，a216，a264.椭圆方程为1.答案1，或115设F1和F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF290，则F1PF2的面积为_解析由题设知2得|PF1|PF2|2.F1PF2的面积S|PF1|PF2|1.答案116过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A，B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析如图，设双曲线一个焦点为F，则AOF中，|OA|a，|OF|c，FOA60.c2a，e2.答案2三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.解设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，k3.直线的方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222.|P1P2| .18(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程解由共同的焦点F1(0，5)，F2(0,5)，可设椭圆的方程为1(a5)，双曲线方程为1.点P(3,4)在椭圆上，1.解得a240或a210(舍去)椭圆的标准方程为1.又过点P(3,4)的双曲线的渐近线方程为yx，即43，b216.双曲线的标准方程为1.19(12分)已知椭圆方程为1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0a3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由解设存在点P(x，y)满足题设条件，则|AP|2(xa)2y2.又1，y24(1)|AP|2(xa)24(1)(xa)24a2.|x|3，当|a|3，又0ab0)，直线l为圆O：x2y2b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：xy30相切，求椭圆C的方程解(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，则由题意易知，OED为直角三角形，且|OE|b，|OD|a，ODE，|ED|c(c为椭圆C的半焦距)椭圆C的离心率ecos.(2)由(1)知，可设a2m(m0)，则cm，bm，椭圆C的方程为1.A(0，m)，|AF|2m.直线AF的斜率kAF，AFB60.在RtAFB中，|FB|4m，B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，AFB为直角三角形，过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，圆Q与直线l：xy30相切，2m.m是大于0的常数，m1.故所求的椭圆C的方程为1.21(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由解(1)由e ，得a2c2.又a2b2c2，a23b2.故椭圆的方程为x23y23b2.又椭圆上的点P(x，y)到点Q(0,2)的距离d当y1时，有3，解得b1.椭圆的方程为y21.(2)SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90，SAOB取最大值，此时点O到直线l距离d，m2n22.又n21，解得：m2，n2.点M的坐标为或或或.故存在点M，使AOB的面积为.22(12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值解(1)，且c，a，b1.椭圆C的方程为y21.(2)由题意知P(0，t)(1t1)，由得x，圆P的半径为.|t|，解得t.点P的坐标是(0，)(3)由(2)知，圆P的方程为x2(yt)23(1t2)点Q(x，y)在圆P上，ytt.设tcos，(0，)，则tcossin2sin()，当，即t，且x0，y取最大值2.