资源描述
本章检测：圆锥曲线与方程
1．抛物线y＝x2的焦点坐标是
2．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为
3．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是
4．设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为
5．抛物线2y＝x2上距离点A(0，a)(a＞0)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是
6．设F1，F2为双曲线x2－4y2＝4a2(a＞0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足·＝0，||·||＝2，则a的值为
7．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得的弦长为，则双曲线的实轴长是 ( )．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是 ．
9．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于
10．已知点A(0，－3)，B(2,3)，点P在x2＝y上，当△PAB的面积最小时，点P的坐标是
11．椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
12．过椭圆＋＝1(0＜b＜a)中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是______．
13．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
14．已知抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点F恰好是椭圆＋＝1的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为________．
15．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一 点，与x轴正方向的夹角为60°，则||为__________．
16．(13分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．
17．(13分)如图，已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4.过椭圆焦点F1作始终线，交椭圆于两点M，N.
(1)求椭圆的方程；
(2)当∠F2F1M＝时，求|MN|.
18．(13分)已知两点A(，0)、B(－，0)，动点P在y轴上的射影为Q，·＝22.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)设直线m过点A，斜率为k，当0<k<1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标．
19．(12分)如图所示，若椭圆＋＝1上存在两点A、B关于l：y＝4x＋m对称，求m的取值范围．
20．(12分)椭圆C的一个焦点F恰好是抛物线y2＝－4x的焦点，离心率是双曲线x2－y2＝4离心率的倒数．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，当点G的横坐标为－时，求直线l的方程．
1.
2.＋＝1.
3.x2－y2＝8
4.＋＝1
5.0＜a≤1
解析 设抛物线上任一点P(x0，y0)，
则|AP|＝＝＝
＝.
由于y0≥0，若|AP|在y0＝0时取最小值，
则1－a≥0，所以a≤1，故0＜a≤1.
6.1
解析 双曲线为－＝1，∵·＝0，
∴||2＋||2＝||2＝4c2＝20a2，
即：(||－||)2＋2||·||＝20a2，
∴16a2＋4＝20a2，∴a2＝1，∵a＞0，∴a＝1.
7.3
解析 直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，
则有 ＝，
可得x＝，取x1＝，y1＝－2，
∴a2＝－4＝，
∴|a|＝，∴2|a|＝3.
8.
解析 本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质．左焦点F (－c,0)，右顶点A(a,0)，不妨设点B在其次象限，则B(－c，)，由＝2得：xP－xA＝2(xB－xP)，代入坐标得，0－a＝2(－c－0)，所以e＝＝.
9.4a
解析
如图所示，设PQ与x轴成θ角，焦点F到准线的距离为，
∴p＝－psin θ，
∴p＝，
∴＝2a(1＋sin θ)，q＝＋qsin θ，
∴q＝，
∴＝2a(1－sin θ)，
∴＋＝4a.
10.
解析 因△PAB中，AB的长为定值，因此AB边上的高最小时，S△PAB的面积最小，平移直线AB使之与抛物线相切，此时两直线间的距离为P到AB距离的最小值．
由题设条件得AB的方程为y＝3x－3.
即3x－y－3＝0，设相切时直线方程为3x－y＋m＝0，
则消去y得
x2－3x－m＝0，Δ＝9＋4m＝0，
∴m＝－，进而求得x＝，y＝.
11. 5或3
12.解析 S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝c·|y1|＋c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，
∴S△ABF2＝c|y1－y2|≤c·2b＝bc.
答案 bc
13.解析 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
联立方程组整理得x2－2px＝0.
又∵直线与抛物线交于A，B两点，
∴xA＋xB＝2p.又＝2，
∴2p＝4，即抛物线C的方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
14.解析 由题意知：－＝－①
且＝2p②
由①②得：＝＝c，
∴b2＝2ac，又a2＝b2＋c2，
∴a2＝2ac＋c2即e2＋2e－1＝0，
∴e＝－1.
答案 －1
15.解析 设A(x，y)(x>0，y>0)，
∴，
解得∴||＝p.
答案 p
16.解 椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)．
离心率e＝.
∴双曲线的离心率＝，
又∵c＝，∴a＝3，
∴b2＝c2－a2＝4，
∴双曲线方程为－＝1
17.解 (1)由题意知：2a＝6,2c＝4，
∴b2＝a2－c2＝9－8＝1，且焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)当∠F2F1M＝时，直线MN的斜率k＝1.
又F1(－2，0)，
∴直线MN的方程为y＝x＋2.
由得：10x2＋36x＋63＝0.
若M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴|MN|＝·|x1－x2|
＝·＝.
即|MN|的长为.
18.解 (1)设动点P的坐标为(x，y)，则点Q(0，y)，＝(－x,0)，
＝(－x，－y)，
＝(－－x，－y)，
·＝x2－2＋y2，
由于·＝22，
所以x2－2＋y2＝2x2，
即动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.
(2)设直线m：y＝k(x－)(0<k<1)，依题意，点C在与直线m平行且与m之间的距离为的直线上，设此直线为m1：y＝kx＋b，由＝，得b2＋2kb＝2.①
把y＝kx＋b代入y2－x2＝2，
整理，得(k2－1)x2＋2kbx＋(b2－2)＝0.
则Δ＝4k2b2－4(k2－1)(b2－2)＝0，即
b2＋2k2＝2.②
由①②得k＝，b＝，
此时，由方程组⇒C(2，)．
19.解 设直线AB的方程为y＝－x＋n，
由消去y得
25x2－8nx＋16n2－48＝0.
∵AB与椭圆有两公共点A、B，
∴方程有两实根，
∴Δ>0，即n2<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
设AB中点M(x0，y0)，则x0＝n，y0＝－x0＋n＝n.
即M，又点M在直线y＝4x＋m上，
∴n＝＋m，∴n＝m，
即2<，
∴－<m<.
20.解 (1)由已知，得该椭圆的一个焦点坐标是F(－1,0)，即c＝1，双曲线x2－y2＝4的离心率为，故椭圆的离心率为，即e＝＝，故a＝，从而b＝1，
所以椭圆的标准方程是＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，
整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根．
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，
故x0＝＝－，
y0＝k(x0＋1)＝.
所以AB的垂直平分线NG的方程为
y－y0＝－(x－x0)，
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋
＝－＝－，解得k＝±，
故直线l的方程为y＝±(x＋1)．
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