2014-2015选修2-1-第二章-圆锥曲线与方程复习课件及复习题单元质量评估(二).doc

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单元质量评估 (二)
第二章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·长沙高二检测)抛物线x2=4y的焦点坐标为(　　)
A.(0,-1) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,0)
【解析】选B.由题意知p=2,且焦点在y轴正半轴上,选B.
2.(2014·江西高考)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为　(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.
【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,
又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,
故a=2,b2=12,所以方程为-=1.新 课 标 xk b1. c om
3.若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为(　　)
A.x2=-28y B.y2=28x
C.y2=-28x D.x2=28y
【解析】选B.由准线方程为x=-7,所以可设抛物线方程为y2=2px(p>0),由=7,所以p=14,故方程为y2=28x.
【变式训练】抛物线y=2x2的准线方程为(　　)
A.y= B.y=- C.x= D.x=-
【解析】选B.由y=2x2,得x2=y,所以p=,=,故准线方程为y=-.
4.(2014·温州高二检测)“m>0”是“方程+=1表示椭圆”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.+=1表示椭圆的充要条件是m>0且m≠3.故选B.
5.若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为(　　) X| k |B| 1 . c| O |m
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】选C.由椭圆过点(-2,),所以+=1,解得b2=4,因此c2=a2-b2=12,所以c=2,2c=4.
6.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos60°===,解得=,故离心率e=.
7.(2014·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
【解析】选A.由得
所以a==,
因此双曲线的方程为-y2=1,
所以渐近线方程为y=±x.
8.(2014·唐山高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为
(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选A.以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2,点(3,4)在圆上,可得c2=25,又双曲线的渐近线方程为y=±x,又过点(3,4),所以有=,结合a2+b2=c2=25,得a2=9,b2=16,所以双曲线的方程为-=1.
9.(2013·重庆高考)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.
【解析】选A.由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得<e≤2.故选A.
10.(2014·北京高二检测)设a>b>0,k>0且k≠1,则椭圆C1:+=1和椭圆C2:+=k具有相同的(　　)
A.顶点 B.焦点
C.离心率 D.长轴和短轴
【解析】选C.椭圆C2:+=k,即+=1,
离心率===.http://ww w.xkb1. com
11.(2013·江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=(　　)
A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3
【解题指南】由抛物线的定义把|FM|转化为点M到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.
【解析】选C.设直线FA的倾斜角为θ,因为F(0,1),A(2,0),所以直线FA的斜率为-,即tanθ=-,过点M作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线定义得|FM|=|MQ|,在△MQN中=,可得=,即|FM|∶|MN|=1∶.
12.(2014·扬州高二检测)若椭圆C:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)与直线l:x+y-1=0交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则=(　　)[来源:学.科.网Z.X.X.K]
A.2 B. C. D.
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
⇒(m+n)x2-2nx+n-1=0,
x1+x2=,x0==,y0=1-x0=.
由kOM=,得=,又=,所以=.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2014·山东高考)已知双曲线-=1的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且=c,则双曲线的渐近线方程为　　　　. 新 课 标 第 一 网
【解题指南】本题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.
【解析】由题意知==b,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,
即,代入双曲线方程为-=1,得=2,
所以==1,所以渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
14.(2014·兰州高二检测)已知点P(a,0),若抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是　　　　.
【解析】对于抛物线y2=4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|,若a≤0,显然适合;若a>0,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,就是a2≤+y2,解得0<a≤2.综上知:实数a的取值范围是a≤2.
答案:a≤2
15.若椭圆+=1(a>b>0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　　　　　.
【解析】由已知得两焦点为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,则<1,得<1,<1,解得0<e<,所以e∈.
答案: X Kb 1.Co m
16.(2014·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l,与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为　　　　.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②,得+=0,
又点P(1,1)是AB的中点,
所以x1+x2=2,y1+y2=2,[来源:学+科+网Z+X+X+K]
所以+=0,
从而+y1-y2=0,
又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.
答案:-
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线方程.
【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.
【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即方程为y=-x,
把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,
把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.
18.(12分)(2014·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C,当直线l的斜率是时,=.
(1)求抛物线G的方程.
(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知当kl=时,l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.
由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线方程为x2=4y.
(2)设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),
由得x2-4kx-16k=0.①
所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
所以BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),
所以BC的中垂线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,
对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.
所以b∈(2,+∞).
【变式训练】(2014·潍坊高二检测)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点A,B,试确定实数a的取值范围,使|AB|≤2p.
【解析】由题意知,直线l的方程为y=x-a,
将y=x-a代入y2=2px,
得x2-2(a+p)x+a2=0.
设直线l与抛物线的两个交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则又y1=x1-a,y2=x2-a,
所以|AB|=
=
=.
因为0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0,
所以0<≤2p.
解得-<a≤-.
故a∈时,有|AB|≤2p.
19.(12分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为-,求椭圆的离心率.
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.
【解析】(1)设点P的坐标为(x0,y0).
由题意得,+=1.①
由A(-a,0),B(a,0),得kAP=,kBP=.
由kAP·kBP=- ,可得=a2-2,代入①并整理得(a2-2b2)=0.
由于y0≠0,故a2=2b2.于是e2==,所以椭圆的离心率e=.
(2)依题意,直线OP的斜率存在,设直线OP的方程为y=kx,点P的坐标为(x0,y0).
由条件得
消去y0并整理得=.　②
由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,
得(x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k2)+2ax0=0.而x0≠0,
于是x0=,代入②,整理得(1+k2)2=4k2+4.
由a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即k2+1>4,因此k2>3.所以|k|>.
【一题多解】依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为(x0,kx0),由点P在椭圆上,有+=1.因为a>b>0,kx0≠0,所以+<1,即(1+k2)<a2.③由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2=a2,整理得(1+k2)+2ax0=0,于是x0=.代入③,得(1+k2)<a2,解得k2>3,所以|k|>.
20.(12分)(2014·西安高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程.
(2)直线y=kx+m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.
【解析】(1)依题意解得a2=3,b2=1.
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)消去y得,
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0,
由已知:1-3k2≠0且Δ=12(m2+1-3k2)>0⇒m2+1>3k2　①
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点P(x0,y0),
则x0==,y0=kx0+m=,
因为AP⊥CD,
所以kAP===-,
整理得3k2=4m+1　②,
联立①②得m2-4m>0,
所以m<0或m>4,又3k2=4m+1>0,
所以m>-,因此-<m<0或m>4.
【变式训练】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程.
(2)从定点M(0,2)任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A,B,记线段AB的中点为P,试求点P的轨迹方程.
【解析】(1)由已知得⇒a=2,b=,则椭圆方程为+=1.
(2)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
若直线l与x轴垂直,则P(0,0).
若直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=kx+2(k≠0).
由⇒(3+4k2)x2+16kx+4=0　①
则将其消去k,
得+(y-1)2=1,
由①中Δ=(16k)2-16(3+4k2)>0,解得k2>,
则x==∈∪,
y=+2=∈,
综上,所求点P的轨迹方程为
+(y-1)2=1.
21.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率.w w w .x k b 1.c o mX| k |B| 1 . c| O |m
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.
【解析】(1)由题意知△AF1F2为正三角形,a=2c,e==.
(2)直线AB的方程为y=-(x-c),
⇒(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0①
由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.
代入①中得5x2-8cx=0,x=0或x=,
得A(0,c),B.|AB|=.
由△AF1B的面积为40,得|AB||AF1|sin60°=40,
··a·=40,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=5.
22.(12分)(2014·北京高二检测)已知A,B是椭圆+=1的左、右顶点,椭圆上异于A,B的两点C,D和x轴上一点P,满足=+.
(1)设△ADP,△ACP,△BCP,△BDP的面积分别为S1,S2,S3,S4,求证:S1S3=S2S4.
(2)设P点的横坐标为x0,求x0的取值范围.
【解题指南】(1)根据=+,可得=,从而C,P,D共线,可得出==.
(2)由(1)P为CD与x轴交点,可设出CD的方程与椭圆联立,找出P点横坐标所满足的式子,建立关于P点横坐标的不等式求解. 新|课 |标 |第 | 一| 网
【解析】(1)由=+知,=+,
即-=(-),所以=,
故C,D,P三点共线,且C,D在P点的两侧,所以==,即S1S3=S2S4.
(2)由(1)知,C,D,P三点共线,且C,D在P点的两侧,且C,D异于A,B的两点,故-2<x0<2,且直线CD不平行于x轴,可设直线CD的方程为:x=my+x0,
由得(3m2+4)y2+6mx0y+3-12=0,
当-2<x0<2时,显然直线与椭圆有两个交点,设C(x1,y1),D(x2,y2),
故y1+y2=-,y1y2=,又=,故y2=-2y1,联立三式,消去y1,y2得
-=,化简得(27-12)m2=4(4-),
因为-2<x0<2,m2>0,故27-12>0,所以x0>或x0<-,

综上知,x0的取值范围是∪.
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