湖北省武汉市部分重点中学2012—2013学年度高二上学期期中联考数学理试题.doc

武汉市部分重点中学2012 - 2013学年度上学期期中联考
高二数学试卷（理科）
命题学校：武钢三中 命题教师：王丽丽 审题教师:张新华
考试时间：2012年11月8日 上午7：30—9：30 试卷满分:150分
一、 选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的
1. 若x、y满足约束条件，则的取值范围是　 （　 ）
A．[2，6］　 B．[2，5］　 C．［3，6］　 D．(3,5］
2。 设∈（0，），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则∈ （ ）
A．（0， B．（, ) C．（0，) D．［,）
3. 已知圆C：x2＋y2＝1，点A(—2，0)及点B(2，a）,从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
4. 过点（2，—2）且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是 ( )
A． B． C． D．
5。 已知圆： ，点(）是圆内一点，过点的圆的最短弦所在的直线为，直线的方程为，那么 ( ）
A．，且与圆相离 B．，且与圆相切
C．,且与圆相交 D．，且与圆相离
6。 已知两定点A(—2,0)，B（1，0),如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）
A． B．8 C．4 D．9
7。 已知点F是双曲线的右焦点，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点,则该双曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A．（1，2） B．（1,3) C．(1,1＋） D．(2，1＋）
8. 过抛物线的焦点F做倾斜角为的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在轴左侧），则的值为 （ )
A．3 B． C．1 D ．
9。 若椭圆与双曲线有相同的焦点，是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是 （ ）
A．4 B．2 C．1 D ．
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10。设为抛物线上任意一点,为抛物线焦点，定点,且的最小值为，则抛物线方程为 （ ）
A． B．
C． D．
二、 填空题:本大题共5小题,每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上
11。 双曲线的离心率 , 则的值是
12. 已知满足，则的取值范围为
13。 已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹所在的曲线是 （在圆，抛物线，椭圆，双曲线中选择一个作答)
14. 已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为
15. 设是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(为原点坐标）且，则的值为
三、解答题：本大题共6小题,共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程.

17。 （本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效）
已知圆C的圆心在射线上，圆C与轴相切，且被直线截得的弦长为 ，则
(1)求圆C的方程；
（2）点为圆C上任意一点，不等式恒成立，求实数的取值范围。

18。 (本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效）
甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：
项 目
甲
乙
丙
维生素A（单位/千克)
600
700
400
维生素B（单位/千克)
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值，使成本最低。

19. （本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意点．
（1）求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2）设点A的坐标为(5,0)，求｜PA｜的最小值。

20。 （本小题满分13分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线依次与抛物线E及圆交于A、C、D、B四点。
（1）求抛物线E的方程；
(2)探究是否为定值，若是，求出该定值;若不是,请说明理由；
(3)过点F作一条直线与直线垂直，且与抛物线交于M、N两点，求四边形AMBN面积最小值。

21. （本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效)
已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1),直线平行OM,且与椭圆交于A、B两个不同的点。
(1）求椭圆方程；
(2）若AOB为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围；
(3）求证直线MA、MB与轴围成的三角形总是等腰三角形。

参考答案
一． 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
A
C
A
B
B
D
二． 填空题
11。 12。 13. 抛物线 14. 15。 2
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三．解答题
16。解：设，，由重心公式，
得 ① …………………………………。4'
　　又在抛物线上，．　　　②……………………。6'
将①代入②，得, …………………………………………….10’
又不共线，所以,
即所求曲线方程是．……………………………。..12’
17.解（1)解：依题设圆心坐标（()……………………………..1’
又圆与轴相切，所以圆的半径……………………………。.……2'
所以圆的方程可设为………………………。。3’
,
…………………………………4’
由点到直线的距离公式得……………………….。5'
解得 ，又，所以 …………………………………….6’
所以圆C方程为………………………………………7’
（2)方法一：三角换元
设， (）…………………….。8’
则…….…9’
因为对任意恒成立，所以……………………。10'
所以……………………………………………。.12’
方法二：几何法
作直线,然后向下平移至与圆C相切或相离时有恒成立
由点到直线距离公式得，且
所以得
（此种方法请老师酌情给分）
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18.解:由题知: ……………………1’

= ………………………………….。3’
又依题有………………………5’
化简得 ……………………………8’
…………………………..12’
19。（1）证明：设，P到两准线的距离记为
而两准线为……………………………………。.2’
……………………….。4’
而因为点在曲线上，所以
所以为一常数……………………………………………….6’
（2）由点点距离公式得：
………………8’
=………………………………………………..9’
…………………………………… 。11'
当…………………………………………………。12’
20.解:
(1）根据抛物线定义得 得抛物线方程…………。。3'
（2）设，
…….5’
由抛物线定义得:
…………………………………………………………6’
设直线AB方程：与抛物线方程联立得:

为定值………………………………8’
（3）设直线AB方程：与抛物线方程联立得:
…………9’
由弦长公式……………………10'
同理直线MN方程：与抛物线方程联立得:
由弦长公式得………………。。11'
所以四边形AMBN的面积
=…………………12’
当………………………………13’
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21。解
（1）设椭圆方程，依题意可得
………………………………………………………2’
可得 所以椭圆方程为………………….4’
（2）设方程为： 与椭圆方程联立得：
由韦达定理得：
……………………6’
设，因为为钝角
所以
=
= ……………………………7’
又平行OM ………………。8'
（3)依题即证………………………………9’
而..…10’
将，代入上式，得
…………………………。12'
将（2）中韦达定理代入得
上式==0
即证. …… 14’