对勾函数详细分析.doc

(完整word)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用
一.对勾函数的图像与性质：
1. 定义域：(—∞，0）∪（0，+∞)
2. 值域:（-∞，—√ab]U［√ab，+∞）
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个
“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心
对称,即
4. 图像在一、三象限， 当时,2√ab（当且仅当取等号），即在x=时,取最小值
由奇函数性质知:当x<0时，在x=时，取最大值
5. 单调性：增区间为（），(),减区间是（0，),（，0）

1、 对勾函数的变形形式
类型一：函数的图像与性质
1。定义域：
2。值域：(-∞,—√ab］U［√ab,+∞)
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状。
4.图像在二、四象限， 当x〈0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时,取最大值
5. 单调性:增区间为（0，），（,0）减区间是（），（)，

类型二：斜勾函数
①作图如下
1.定义域： 2.值域：R
3。奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限,无最大值也无最小值。
5。单调性：增区间为(-,0)，(0，+）。

②作图如下：
1。定义域: 2.值域：R
3.奇偶性：奇函数 4。图像在二、四象限，无最大值也无最小值。
5。单调性：减区间为（-，0），(0,+）。

类型三：函数。
此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到
练习1。函数的对称中心为
类型四:函数
此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到
练习 1。作函数与的草图
2.求函数在上的最低点坐标
3。 求函数的单调区间及对称中心

类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为
a.若,图像如下:
1． 定义域： 2。 值域：
3。 奇偶性:奇函数. 4。 图像在一、三象限。当时，在时，取最大值，当x<0时,在x=时，取最小值
5. 单调性：减区间为（）,（）;增区间是

练习1.函数的在区间上的值域为
b. 若，作出函数图像：
1． 定义域： 2. 值域： 3. 奇偶性：奇函数. 4。 图像在一、三象限。
当时,在时，取最小值，
当x〈0时，在x=时，取最大值
5. 单调性：增区间为()，(）；减区间是

练习1。如，则的取值范围是
类型六：函数.可变形为，
则可由对勾函数左右平移，上下平移得到
练习1.函数由对勾函数向 (填“左"、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下"）平移 单位。
2.已知 ，求函数的最小值；
3。已知 ,求函数的最大值
类型七:函数
练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为
2。求函数在区间上的最大值
类型八:函数。此类函数可变形为标准形式：
练习1.求函数的最小值；
2．求函数的值域；
3.求函数的值域
类型九：函数。此类函数可变形为标准形式:
练习 1。求函数的最小值；
2. 求函数的值域

三、关于求函数最小值的十种解法
1。 均值不等式
，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”。当的时候，
2。 法

若的最小值存在，则必需存在，即或（舍）
找到使时，存在相应的即可。通过观察当的时候，
3. 单调性定义
设
当对于任意的，只有时，，此时单调递增；
当对于任意的，只有时，，此时单调递减。
当取到最小值，
4. 复合函数的单调性

在单调递增，在单调递减；在单调递增
又 原函数在上单调递减;在上单调递增
即当取到最小值，
5. 求一阶导
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
当取到最小值，
6. 三角代换
令，,则

当,即时,，,显然此时
7。 向量
，

根据图象，为起点在原点，终点在图象上的一个向量，的几何意义为在上的投影，
显然当时,取得最小值.此时，，
8．图象相减
，即表示函数和两者之间的距离
求,即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线，显然当与相切时，两曲线竖直距离最小。
关于直线轴对称,若与在处有一交点，根据对称性，在处也必有一个交点，即此时与相交。显然不是距离最小的情况。
所以，切点一定为点。 此时，，
9。平面几何
依据直角三角形射影定理，设,则
显然，为菱形的一条边，只用当，即为直线和之间的距离时，取得最小值。即四边形为矩形。
此时,，即，
10. 对应法则
设
,,对应法则也相同

左边的最小值右边的最小值
（舍)或 当，即时取到最小值，且
对勾函数练习：
1．若 x〉1。求的最小值. 11。若在上恒成立，则的取值范围是
2. 若 x>1。 求的最小值 12. 求函数的最值。
3. 若 x〉1。 求的最小值 13.
4。 若 x>0. 求的最小值 14.
5。已知函数
（1） 求
(2）若对任意x∈［1，+∞］,f（x)〉0恒成立，求a范围
6。: 方程sin2x－asinx+4=0在[ 0 , ］内有解 ，则a的取值范围是__________
7。 函数的最小值为____________;函数的最大值为_________。
8.函数的最大值为 。
9、若,则的最值是 。
10。函数的最小值是 。
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