2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案.doc

2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案【学习目标】1 掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2 理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）；3 通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件【知识回顾】1 平行向量是指什么？共线向量又是指什么？ 2 作出两个向量的和向量的方法有 、 第一个方法的步骤是： ；第二个方法的步骤是： 3 作出两个向量的差向量的方法是 ；作两个向量的差向量的步骤是： 4 三个向量，有怎样的等式关系？ （向量的化简与分解）【新课导入】相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当时， .那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？已知非零向量，如何作出向量和？类似实数的数乘运算，可将简记为 ；简记为 ，它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？ 请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？ 【学习过程】1）定义一般地，我们规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，该向量的方向与长度与、有什么关系呢？（1）向量的长度： .（2）向量的方向： .思考：若且，则 （用的模表示）向量的数乘运算的几何意义吗？向量与数量的关系常常在物理公式中体现你能举出几个公式吗？练一练：（课本第90页练习的第2，3题）1已知点在线段上，且，则；2将下列各小题中的表示为实数与向量的积：，； ，；，； ，2）运算律： 初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？为常数，为未知量，且，则类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律：设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1） ；（2） ；（3） .特别地，我们有 ； .练一练：3计算：（1）； （2）； （3）.总结提升1此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）2向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量以及任意实数恒有：4若是已知向量，且，求（用表示）3）共线定理：思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？1 若（为非零向量，），则向量、是否共线？ .2 若非零向量与向量共线，是否存在使得？共线向量定理：向量与非零向量平行的等价条件是有且仅有一个实数，使得.共线定理中能否将“非零向量”改为“向量”？为什么？想一想：如图：已知，试判断与是否平行变式1：如上图，已知，试判断三点的位置关系变式2：如上图，已知，求证：【总结提升】向量共线定理的应用：1证明向量共线；2证明：三点共线：三点共线；3证明两直线平行：这样几何问题向量化【典例1】已知任意两个非零向量、，且，.你能判断三点之间的位置关系吗?为什么?【典例2】在中，点是线段上的一点，且，请用向量、表示向量【小结回顾】1 实数与向量的积：2 实数与向量的积的运算律：3 共线向量定理：定理的应用证明：向量共线； 证明：三点共线：三点共线；证明 两直线平行：【作业布置】 1相应课时的同步作业2拓展提升部分的思考.【拓展提升】1. 设、是两个不共线向量，已知，若、三点共线，求的值2在【典例2】中，观察所得出的结果，向量与的系数有何关系？若题中为直线上的任意一点，且，则用向量、又如何表示向量，此时向量与的系数又有何关系？ ；反过来，若，且 （满足上述向量与的系数关系式），则点有何关系？你能从中总结出一个什么样的结论- 5 -