2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案.doc

2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案
【学习目标】
1． 掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2． 理解两个向量平行（或共线）的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行（或共线）；
3． 通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想．
【重点难点】
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件；
难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件．
【知识回顾】
1． 平行向量是指什么？共线向量又是指什么？ ．
2． 作出两个向量的和向量的方法有 、 ．
①第一个方法的步骤是： ；
②第二个方法的步骤是： ．
3． 作出两个向量的差向量的方法是 ；作两个向量的差向量的步骤是： ．
4． 三个向量，，有怎样的等式关系？ ．（向量的化简与分解）
【新课导入】
相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当时， .那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？
已知非零向量，如何作出向量和？
类似实数的数乘运算，可将简记为 ；简记为 ，它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？

请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？
．
【学习过程】
1）定义
一般地，我们规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，该向量的方向与长度与、有什么关系呢？
（1）向量的长度： .
（2）向量的方向： .
思考：
①若且，则 ．（用的模表示）
②向量的数乘运算的几何意义吗？

向量与数量的关系常常在物理公式中体现．你能举出几个公式吗？

练一练：（课本第90页练习的第2，3题）
1．已知点在线段上，且，则；；
2．将下列各小题中的表示为实数与向量的积：
①，； ②，；
③，； ④，．
2）运算律：
初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗？为常数，为未知量，且，则

类比多项式的运算律（交换律、结合律、分配律）得到以下向量数乘的运算律：
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1） ；　（2） ；　（3） .
特别地，我们有 ； .
练一练：
3．计算：（1）； （2）； （3）.
总结提升
1．此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）．
2．向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量以及任意实数恒有：

4．若是已知向量，且，求（用表示）．

3）共线定理：
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
1． 若（为非零向量，），则向量、是否共线？ .
2． 若非零向量与向量共线，是否存在使得？

共线向量定理：向量与非零向量平行的等价条件是有且仅有一个实数，使得.
共线定理中能否将“非零向量”改为“向量”？为什么？

想一想：如图：已知，，试判断与是否平行．

变式1：如上图，已知，，试判断三点的位置关系．

变式2：如上图，已知，，求证：．
【总结提升】向量共线定理的应用：
1．证明向量共线；
2．证明：三点共线：三点共线；
3．证明两直线平行：．
这样几何问题向量化．
【典例1】已知任意两个非零向量、，且，，.你能判断三点之间的位置关系吗?为什么?

【典例2】在中，点是线段上的一点，且，请用向量、表示向量．

【小结回顾】
1． 实数与向量的积：
2． 实数与向量的积的运算律：
3． 共线向量定理：
定理的应用
①证明：向量共线； ②证明：三点共线：三点共线；
③证明 两直线平行：．
【作业布置】
1．相应课时的同步作业
2．拓展提升部分的思考.
【拓展提升】
1. 设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值．
2．在【典例2】中，观察所得出的结果，向量与的系数有何关系？若题中为直线上的任意一点，且，则用向量、又如何表示向量，此时向量与的系数又有何关系？ ；反过来，若，且 （满足上述向量与的系数关系式），则点有何关系？你能从中总结出一个什么样的结论．
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