必修四向量数乘运算及其几何意义.doc

(完整word)必修四向量数乘运算及其几何意义
　向量数乘运算及其几何意义
[学习目标]　1。了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义。2。理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算。3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．

知识点一　向量数乘运算和运算律
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下:
（1)|λa｜＝|λ||a｜。
(2)λa （a≠0）的方向
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0。
2．向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ）a.
（2)(λ＋μ)a＝λa＋μa。
（3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，有（－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ（a－b）＝λa－λb.
思考　你能理解λa的几何意义吗？
答案　意义有两条,一是a的模变为｜λ｜倍；二是λ的正负改变λa的方向．
知识点二　共线向量定理
1．共线向量定理
向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使b＝λa。
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b。
思考　若向量a与b共线,一定有a＝λb吗？
答案　不一定．因为当b＝0，而a≠0时，则不能表示为a＝λb的形式．

题型一　向量的线性运算
例1　计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b）；
(2）－;
(3）6(a－b＋c）－4(a－2b＋c）－2(－2a＋c）．
解　(1）原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b。
（2)原式＝－
＝－
＝a＋b－a－b＝0。
（3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝（6a－4a＋4a）＋(8b－6b）＋（6c－4c－2c)＝6a＋2b。

跟踪训练1　若a＝b＋c,化简3（a＋2b)－2（3b＋c）－2(a＋b)的结果为（　　)
A．－a B．－4b C．c D．a－b
答案　A
解析　3(a＋2b）－2（3b＋c）－2（a＋b）＝(3－2）a＋(6－6－2）b－2c＝a－2(b＋c）＝a－2a＝－a.

题型二　向量共线的判定及应用
例2　已知非零向量e1，e2不共线．
（1）如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2），求证:A、B、D三点共线；
(2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
（1）证明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2)＝5。
∴，共线，且有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
（2)解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2）,
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有
∴k＝±1。
跟踪训练2　如图，已知任意两个非零向量a，b，作＝a＋b,＝a＋2b，＝a＋3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系,并说明理由．
解　分别作向量、、,过点A、C作直线AC（如图）．
观察发现,不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线．
因为＝－
＝（a＋2b)－(a＋b)＝b,
＝－＝（a＋3b)－（a＋b）＝2b，
故有＝2。
因为∥，且有公共点A，所以A、B、C三点共线．
题型三　向量数乘运算的综合应用
例3　如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
解　方法一　设＝x，则＝x，
＝e1－x,＝e1－x,
又＝x，由＋＝得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，
即＝e2－e1，
由＝－，＝e1－x，得
＝－e1＋e2。
方法二　设＝x，＝y,则＝x，＝－y.
由＋＝，＋＝得

用－2乘以②与①相加得x－2x＝e1－2e2，
解得x＝(2e2－e1),即＝（2e2－e1)，
同理得y＝（－2e1＋e2），即＝－e1＋e2。
跟踪训练3　已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：＝（＋）．
证明　取以点A为起点的向量,应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝。
∵F是BC的中点，∴＝（＋）．
又∵＝＋,
∴＝（＋＋）＝（＋)＋.
∴＝－＝（＋）＋－
＝(＋)．

数形结合思想在向量线性运算中的应用

例4　如图所示，在△ABC中,＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b,用a，b表示向量，,,，，。
分析　利用DE∥BC等条件进行转化．
解　∵DE∥BC,＝，
∴＝＝b,＝－＝b－a.
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．
又AM是△ABC底边BC的中线，DE∥BC，
∴＝＝(b－a)．
＝＋＝a＋＝a＋(b－a）＝(a＋b)．
＝＋＝＋（b－a)＝(a＋b）．

1．下列各式中不表示向量的是(　　）
A．0·a B．a＋3b
C．|3a｜ D.e(x，y∈R,且x≠y）
2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b,＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　）
A．B、C、D B．A、B、C
C．A、B、D D．A、C、D
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
4．若＝2，＝λ，则λ＝________。

一、选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a,b共线,则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a,则|b|＝2｜a｜
2．已知m,n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为（　　)
①m(a－b)＝ma－mb;②（m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b;④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
3．设D,E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（　　)
A。 B. C. D。
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）
A。＝－＋ B。＝－
C.＝＋ D.＝－
6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a,＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
二、填空题
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
8．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________。
9．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s＝________。
10。如图所示，设M，N为△ABC内的两点,且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________．
三、解答题
11．若非零向量a与b不共线，ka＋2b与3a＋kb共线，试求实数k的值．

12．在▱ABCD中，＝a，＝b,＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示)．

13.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD。
求证：M、N、C三点共线。

当堂检测答案
1．答案　C
解析　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a｜不是向量．
2．答案　C
解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．
3．答案　2
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＋＝＝2，∴λ＝2.
4．答案　－3
解析　∵＝＋＝2＋＝3，∴λ＝－3.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　D
解析　显然b＝±2a时，必有｜b|＝2|a|.
2．答案　B
解析　①和②属于数乘对向量与实数的分配律,正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误;④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
3．答案　C
解析　如图，＋
＝＋＋＋
＝＋＝（＋）
＝·2＝。
4．答案　D
解析　＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．
5．答案　A
解析　∵＝3，∴－＝3（－),
即4－＝3，∴＝－＋.
6．答案　D
解析　∵△DEF∽△BEA,∴＝＝,
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋。
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝（a－b），＝(a＋b)，
∴＝(a＋b）＋（a－b)＝a＋b。
二、填空题
7．答案　
解析　＝＋＝＋＝＋(－）＝＋.
8．答案　3
解析　∵＋＋＝0,
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3,∴m＝3.
9．答案　
解析　∵＝＋＝4，
∴＝3.
∴＝－＝＋－
＝＋－＝＋(－）－
＝－
∴r＝，s＝－，r－s＝.

10.答案　2∶3
解析　如图所示，设＝，＝，
则＝＋.
由平行四边形法则知，MQ∥AB，
∴＝＝.
同理＝.∴＝.
三、解答题
11．解　∵ka＋2b与3a＋kb共线，
∴存在实数λ使ka＋2b＝λ(3a＋kb）,
∴（k－3λ)a＋(2－λk）b＝0，
∴（k－3λ)a＝(λk－2）b。
∵a与b不共线，∴，∴k＝±.
12．解　方法一　如图所示，在▱ABCD中，连接AC交BD于O点，
则O平分AC和BD.
∵＝3，∴＝，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点,∴MN綊BO，
∴＝＝＝(b－a)．
方法二　＝＋＋＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝（b－a)．
13。证明　设＝a，＝b，则由向量减法的三角形法则可知:＝－＝－＝a－b。
又∵N在BD上且BD＝3BN,
∴＝＝(＋）＝(a＋b），
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝,
∴＝,又∵与的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．

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