必修四向量数乘运算及其几何意义.doc

(完整word)必修四向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义学习目标1。了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义。2。理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算。3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘运算和运算律1向量数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下:（1)|a|a。(2)a （a0）的方向特别地，当0或a0时，0a0或00。2向量数乘的运算律(1)(a)(）a.（2)()aaa。（3)(ab)ab.特别地，有（)a(a)(a)；（ab）ab.思考你能理解a的几何意义吗？答案意义有两条,一是a的模变为倍；二是的正负改变a的方向知识点二共线向量定理1共线向量定理向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数,使ba。2向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2,恒有（1a2b）1a2b。思考若向量a与b共线,一定有ab吗？答案不一定因为当b0，而a0时，则不能表示为ab的形式题型一向量的线性运算例1计算：(1)6(3a2b)9(2ab）；(2）;(3）6(abc）4(a2bc）2(2ac）解(1）原式18a12b18a9b3b。（2)原式abab0。（3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c（6a4a4a）(8b6b）（6c4c2c)6a2b。跟踪训练1若abc,化简3（a2b)2（3bc）2(ab)的结果为（)Aa B4b Cc Dab答案A解析3(a2b）2（3bc）2（ab）(32）a(662）b2ca2(bc）a2aa.题型二向量共线的判定及应用例2已知非零向量e1，e2不共线（1）如果e1e2，2e18e2，3(e1e2），求证:A、B、D三点共线；(2）欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值（1）证明e1e2，2e18e23e13e25（e1e2)5。，共线，且有公共点B，A、B、D三点共线（2)解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2（e1ke2）,则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1。跟踪训练2如图，已知任意两个非零向量a，b，作ab,a2b，a3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系,并说明理由解分别作向量、,过点A、C作直线AC（如图）观察发现,不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线因为（a2b)(ab)b,（a3b)（ab）2b，故有2。因为，且有公共点A，所以A、B、C三点共线题型三向量数乘运算的综合应用例3如图所示，已知ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解方法一设x，则x，e1x,e1x,又x，由得xe1xe2，解方程得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1e2。方法二设x，y,则x，y.由，得用2乘以与相加得x2xe12e2，解得x(2e2e1),即（2e2e1)，同理得y（2e1e2），即e1e2。跟踪训练3已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证：（）证明取以点A为起点的向量,应用三角形法则求证，如图E为AD的中点，。F是BC的中点，（）又,（）（).（）() 数形结合思想在向量线性运算中的应用例4如图所示，在ABC中,，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b,用a，b表示向量，,，。分析利用DEBC等条件进行转化解DEBC,，b,ba.由ADEABC，得(ba)又AM是ABC底边BC的中线，DEBC，(ba)aa(ba）(ab)（ba)(ab）1下列各式中不表示向量的是(）A0a Ba3bC|3a D.e(x，yR,且xy）2已知向量a、b，且a2b，5a6b,7a2b，则一定共线的三点是(）AB、C、D BA、B、CCA、B、D DA、C、D3在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.4若2，则_。一、选择题1下列说法中正确的是（）Aa与a的方向不是相同就是相反 B若a,b共线,则baC若|b|2|a|，则b2a D若b2a,则|b|2a2已知m,n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为（)m(ab)mamb;（mn)amana；若mamb，则ab;若mana，则mn.A BC D3设D,E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于（)A。 B. C. D。4已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则()AP在ABC内部 BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上 DP在AC边上5设D为ABC所在平面内一点，3，则（）A。 B。C. D.6在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a,b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab二、填空题7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则的值为_8已知在ABC中，点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_。9在ABC中，点D在直线CB的延长线上，且4rs，则rs_。10。如图所示，设M，N为ABC内的两点,且，则ABM的面积与ABN的面积之比为_三、解答题11若非零向量a与b不共线，ka2b与3akb共线，试求实数k的值12在ABCD中，a，b,3，M为BC的中点，求(用a，b表示)13.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD。求证：M、N、C三点共线。 当堂检测答案1答案C解析向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a不是向量2答案C解析2a4b2，A、B、D三点共线3答案2解析四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，2，2.4答案3解析23，3.课时精练答案一、选择题1答案D解析显然b2a时，必有b|2|a|.2答案B解析和属于数乘对向量与实数的分配律,正确；中，若m0，则不能推出ab，错误;中，若a0，则m，n没有关系，错误3答案C解析如图，（）2。4答案D解析，2，P在AC边上5答案A解析3，3（),即43，.6答案D解析DEFBEA,DFAB，。a，b，联立得：（ab），(ab)，(ab）（ab)ab。二、填空题7答案解析(）.8答案3解析0,点M是ABC的重心3,m3.9答案解析4，3.(）r，s，rs.10.答案23解析如图所示，设，则.由平行四边形法则知，MQAB，.同理.三、解答题11解ka2b与3akb共线，存在实数使ka2b(3akb）,（k3)a(2k）b0，（k3)a(k2）b。a与b不共线，k.12解方法一如图所示，在ABCD中，连接AC交BD于O点，则O平分AC和BD.3，N为OC的中点，又M为BC的中点,MN綊BO，(ba)方法二baba(ab)（ba)13。证明设a，b，则由向量减法的三角形法则可知:ab。又N在BD上且BD3BN,(）(ab），(ab)bab,又与的公共点为C，C、M、N三点共线13