资源描述
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
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.
思考1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力.体现了向量的加法运算.
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？
答案 三角形法则和平行四边形法则.
梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
(2)向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
知识点二 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律？
答案 交换律和结合律.
思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.(注：＝a，＝b)
答案 ∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.(注：＝a，＝b，＝c)
答案 ∵＝＋
＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c，
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
梳理 向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
解 (1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系.
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
(1)＋＝________；(2)＋＝________；(3)＋＝________.
答案 (1) (2) (3)0
类型二 向量加法运算律的应用
例2 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案 2
解析 |＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
类型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解 作出图形，如图所示.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，
四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角.
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进.
引申探究
1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？
解 由例3知v船＝20 m/min，v实际＝20×sin 60°＝10(m/min)，
故该船1 h行驶的航程为10×60＝600(m)＝(km).
2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.
解 如图，作平行四边形ABDC，则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.
跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
解 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N).
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )
A.0 B.
C. D.
答案 D
解析 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
答案 D
解析 ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
故选D.
3.(＋)＋(＋)＋等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为( )
A.矩形
B.正方形
C.平行四边形
D.菱形
答案 C
解析 ∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，
即＝.
∴四边形ABCD为平行四边形.
5.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
答案 20
解析 如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10 km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则.
2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
课时作业
一、选择题
1.作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为( )
A.30 N B.60 N C.90 N D.120 N
答案 B
2.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＝，＝ B.＋＝
C.＋＝＋ D.＋＋＝
答案 C
3.下列等式错误的是( )
A.a＋0＝0＋a＝a
B.＋＋＝0
C.＋＝0
D.＋＝＋＋
答案 B
解析 ＋＋＝＋＝2≠0，故B错.
4.已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
答案 C
解析 对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，
所以＋＝；对于D，＋≠.
5.已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a，b是共线向量且方向相反
C.a＝b
D.a，b无论什么关系均可
答案 A
6.若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
答案 D
解析 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形，故选D.
二、填空题
7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3) (4)0
8.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
9.在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
答案 0
10.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
答案 1
解析 在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，
|＋|＝||＝1.
三、解答题
11.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点.
求证：＋＋＋＝4.
证明 ∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4.
∴＋＋＋＝4.
12.如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
解 以BA，BC为邻边作▱ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB，CA为邻边作▱ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋.
13.在水流速度为4 km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向.
解 如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连接BC，作AD綊BC，则为所求船的航行速度，且＋＝.
∵||＝4，||＝12，∴tan ∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝30°＝∠CAD，||＝||＝8，
∠BAD＝120°.
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流速度成120°角.
四、探究与拓展
14.若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
答案 8 km 北偏东45°
解析 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
15.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明 ＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
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