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谈条件概率常见问题解题法

摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。
关键词:条件概率，事件、样本空间
1.条件概率的概念
一般地，设为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率。 关于条件概率，有下面的定理:
定理1:设事件的概率，则在事件已经发生的条件下事件的条件概率等于事件的概率除以事件的概率所得的商:
推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积:
性质：1. =1-
2.条件概率P(B∣A)与积事件P(AB)概率的区别
与这是两个截然不同的事件概率．设是随机试验对应的样本空间中的两个事件，是事件同时发生的概率，而是在事件已经发生的条件下事件B的概率。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间中进行讨论；而求时，所考虑的样本空间就不是了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式给出了它们之间的联系。
3.条件概率的解题方法：
解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。求解简单条件概率问题，有五种基本方法:
（1） 化为古典概型解决

（2） 化为几何概型解决

（3） 条件概率公式法
如果,则先在原样本空间中计算和，再按公式计算
（4）缩减样本空间法：
在事件发生的前提下，确定事件B的缩减样本空间，并在中计算事件发生的概率，从而得到
(5)利用条件概率的性质
=1 -
4.条件概率常见应用问题类型
类型1：掷骰子子问题
例1将一枚硬币抛掷三次，记事件为 “至少出现一个正面“，记事件为 “至少出现两个反面”，求.
解法1：化为古典概型解决：表示“恰有一个正面两个反面，={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT},={TTT ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,}, ={ HTT,THT,TTH}
, ,,,
解法2：缩减样本空间法：在缩减样本空间中看，共有7个元素，其中只有3个属于，故有，
类型2：摸球问题
例2：袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。
解法1：条件概率公式法
设{第1次摸到白球}；{第2次摸到黑球}
求：袋中有10个球，每个球等可能地被取中。考虑两次取球的随机试验；从袋中不放回地摸取两次，每一次—个，共有种摸法．即样本点总数为个。第1次摸到白球的摸法有种，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只能从9个球中摸一球，有种摸法，因此A包含的样本点数为个。故由古典慨型的概率计算公式得=
求：考虑上述同—个随机试验的样本空间，样本点总数仍为个，其中事件AB表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”，因此，AB包含的样本点数为个,于是由古典概率计算公式可得, 故由条件概论可得=
解法二：缩减样本空间法:对方法一中的样本空间进行缩减，在“第1次摸到白球”的条件下，样本空间所包含的样本点数为其中“第2次摸到黑球”的样本点数为。故由古典概率计算公式可得
类型3：产品检验问题：
例3：设有某产品一盒共6只，已知其中有2只次品，从中取二次，每次任取一只，作不放同抽样。求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。
解法：设事件为“第一次抽得次品”，事件为“第二次抽到次品”，则为“第一次和第二次都抽得次品”，故有,,
类型4：整数的倍数问题
例4:从1-100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率?
解：设事件为“取出的数不大于50，事件为“取出的数是2的两倍’，事件为“取出的数是3的倍数”, 则，且求概率为
类型5;等候问题
例5：两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面，并约定先到者等候另一人30分钟方可离开，已知两人会上了面，求先到者等候另一人超过20分钟的概率。
解：设事件{ 两人会上了面 }，{ 先到者等候另一人超过20分钟 }
先用集合表示该试验的样本空间及事件、、，得，，， ，
（ 样本点 -对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为、，、的单位：时分 ）
如图所示。

于是，所求事件的概率为：

类型6:医疗诊断问题
例6：据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关.
解:设事件为耳聋人，事件为色盲人，，则.依题意可得，,，概率公式，
所以，,事件与事件相互独立. 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.
类型7:其它类型
例7：某校计科系一年级100名学生中有男生80名，来自南京的20名学生中有男生12名，选修数学建模课的40名学生中有男生32名，求碰到选修数学建模课的学生的情况下，是一名女生的概率。
解：A={

也可利用条件概率的性质解决：
=1-
例8：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个孩子是男孩的概率？已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率？
解：(1)基本事件空间={（男，男）（男，女）(女，男）（女，女）}，记事件 =“其中一个是女孩”，=“其中一个是男孩”,显然： 事件包括（男，女）（女，男）（女，女）三个结果；事件包括（男，女）（女，男）两个结果；事件与的关系可以用韦恩图表示为（图1）：故由条件概率公式易得:    

由上面的推导过程不难得到：
结论1：当问题为古典概型时，经类比推理可得
结论2：当问题为几何概型时
(2)记事件为“其中一个是女孩”,事件为“另一个也是女孩”,由韦恩图明显看出事件的集合是事件集合的子集 （图2）由条件概率--古典概型公式得           
观察得到等式：  且                 
故可以推断条件概率性质：
总结: 解条件概率题首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题,如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。条件概率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或公式解答条件概率间题。
参考文献
[1] 沈恒范．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2003.
[2] 薛留根．概率论解题方法与技巧[M]．北京：国际工业出版社，l999．
[3]孙荣恒. 应用概率统计[M ] . 2版. 北京: 科学出版社, 2006.
[4]赵焕宗. 应用高等数学[M ] . 上海: 上海交通大学出版社, 2001.

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