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(完整版)(1503)相似三角形性质专项练习30题(有答案)

相似三角形性质专项练习30题(有答案）

1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上,△ABE∽△DEF，AB=6,AE=9,DE=2，求EF的长．

2．如图，AD=2,AC=4，BC=6,∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC
(1）求AB的长;
（2）求CD的长;
(3）求∠BAD的大小．

3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′,B′E′是△A′B′C′的高，求证:=．

4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k,若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．

5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′,∠C=∠C′，求证：=．

6．已知,如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．

7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．

9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．

10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

11．如图,在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．

12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．

13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上,△ABE△∽△DEF,AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．

14．如图，△ABC∽△DAB,AB=8,BC=12，求AD的长．

15．如图,△ABC中,∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？

16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°,∠C=30°，求∠E的度数．

17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED,点D、E分别是边AB、AC上的点,如果AD=3，AE=6,CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．

18．如图，在△ABC中,AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．

19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点(与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．
（1）求AC的长；
（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．

20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm
（1）已知他们的周长相差60cm,求这两个三角形的周长．
（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．

21．如图，已知△ACE∽△BDE,∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数;
(2）求AE和DE的长．

22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案,并说明理由．

23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少?

24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点,当△BPD与△PCE相似时，求BP的值．

25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线,求证：．

26． 已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF和AC的长．

27．如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点M从点A出发,以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动,是否存在某一时刻t,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在,请说明理由．

28．Rt△ABC中,∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动,当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．
（1)用t的代数式分别表示AQ和AP的长；
（2）设△APQ的面积为S，
①求△APQ的面积S与t的关系式；
②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？
（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?

29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC:AB=3:5，点P从点B出发,沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？

30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k（k＞1）,且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c）,△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．
(1）若c=a1，求证:a=kc；
（2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．

相似三角形专项练习30题参考答案:
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°,
∵AB=6，AE=9,
∴BE===，
∵△ABE∽△DEF,
∴=,即=,
解得EF=．
2．解:（1)∵△ABC∽△DAC,
∴，
∴，
解得：AB=3;

(2）∵△ABC∽△DAC，
∴，
∴，
解得：CD=；
（3）∵△ABC∽△DAC,
∴∠BAC=∠D=107°,∠CAD=∠B=36°，
∵∠B=36°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°

3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，
∴∠ABD=∠A′B′D′，
∵AD和A′D′是高,
∴∠ADB=∠A′D′B′,
∴△ABD∽△A′B′D，
∴=，
同理可得=，
∴=．
4．解：∵△ACB∽△CBD,
∴=,
∵AC=b,CB=a,BD=k,
∴=，即a2=bk．　
5．证明:∵△ABD∽△A′B′D′,
∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′,
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,
∴△ABD∽△A′B′D′,
∴=,
同理可求△ABE∽△A′B′E′，
∴=,
∴=．　
6．解：∵BD⊥AC,
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，
∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，
在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2,
在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，
在Rt△CED中,CD2=CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．　
7．解：分三种情况：
①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=1,BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1)=2﹣；
③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，
易知AD⊥BC,DE⊥AC，且AD=DC．
由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．

8．解：∵△ABC与△ADB相似，
∴△ABC∽△ADB，
∴=，
∴AB2=AC•AD=10×4=40，
∴△ABC与△ADB的相似比为==．　
9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，
由翻折的性质得B′F=BF=x，
当△B′FC∽△ABC,
∴=,
即=，
解得x=，
即BF=．
当△FB′C∽△ABC，
∴=
即，
解得:x=2．
∴BF的长度为：2或．　
10．解：设运动了ts，
根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm,
则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm)，
当△APQ∽△ABC时,，
即，
解得：t=；
当△APQ∽△ACB时,，
即，
解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s　
11．解：∵△AOB∽△EOD，
∴DE：AB=OA：OE，
∵DE=AB，AB=9，AO=6，
∴DE=×9=6，OE=OA=4，
∴AE=OA+OE=6+4=10．
12．解:（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠ACP=120°,
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，
∵∠A=∠A，
∴∠ACP∽∠APB，
∴∠APB=∠ACP=120°；

（2）∵△ACP∽△PDB,
∴AC：PD=PC：BD,
∴PD•PC=AC•BD，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，
∴CD2=AC•BD．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°,
∵AB=6，AE=8，
∴BE===10,
∵△ABE∽△DEF，
∴=，即=，解得EF=．　
14．解：∵△ABC∽△DAB，
∴，
∵AB=8,BC=12，
∴,
∴AD=．　
15．解:设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2;
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2,
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1。2或秒．
16．解：∵△ABC中,∠A=50°,∠C=30°，
∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，
∵△ABC∽△FED，
∴∠E=∠B=100°．　
17．解：∵△ABC∽△AED,且∠B=∠AED，
∴．
又AD=3,AE=6，CE=3，
∴AB==18．
18．解：设经过t秒两三角形相似，
则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t,
①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，
∴=，
即=，
解得t=2，
②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，
∴=,
即=，
解得t=，
综上所述,经过或2秒钟,△APQ与△ABC相似

19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F(1分)
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=,
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×
在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴(1分)

（2)过点P作PG⊥BC于G,在Rt△BPG中,∠PGB=90°，
∴（1分）
如果△ABP和△BCE相似，
∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴即
解得（不合题意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）①当AE=AB=4时
∵AP∥BC，
∴
即，
解得，
②当BE=AB=4时
∵AP∥BC,
∴，
即，
解得(不合题意，舍去）
③在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵，
在线段FC上截取FH=AF，
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE．
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或

20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm
∴这两个三角形的相似比为：5：2
∴这两个三角形的周长比为：5：2
∵他们的周长相差60cm
∴设较大的三角形的周长为5xcm,较小的三角形的周长为2xcm
∴3x=60
∴x=20cm
∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm
∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm

（2)∵这两个三角形的相似比为：5：2
∴这两个三角形的面积比为：25：4
∵他们的面积相差588cm2
∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2
∴（25﹣4）x=588，
∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2
∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2
21．解：(1)∵△ACE∽△BDE，∠A=117°,∠C=37°,
∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；

（2)∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18,
∴设AE=x，DE=y,则BE=12﹣x，CE=18﹣y，
∴==，即==，解得x=8，y=6,
∴AE=8，DE=6　
22．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边,把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；
②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分,
则有．
③当30cm作为最短边:则另两边都会超过50cm,此时不合题意,
∴一共有两种截法．　
23．解:题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：
（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；
（2)若边长为2的边与边长为5的边相对应,则另两边为和;
（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．
故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．　
24．解:设BP=x,
∵等边△ABC的边长为8,
∴CP=8﹣x，
∵E为AC中点，
∴CE=AC=×8=4，
①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，
∴=,
即=，
整理得,x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=6,
即BP的长为2或6，
②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，
∴=，
即=，
解得x=，
即BP=，
综上所述,BP的值是2或6或．　
25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴===K．
又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线,
∴==．
∴，∵∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′．
∴．　
26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴，
∴，
同理,
∴．
答：EF的长是cm，AC的长是cm．　
27．解:存在t=3秒或4。8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分)
设经过t秒时,△AMN与△ABC相似，
此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t(0≤t≤6）,
（1)当MN∥BC时,△AMN∽△ABC，（1分）
则,即，（3分）
解得t=3；（5分）

（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）
则，即，（8分）
解得t=4。8;（10分）
故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）　
28．解：(1）用t的代数式分别表示AQ=2t,AP=6﹣t；(2分)

（2）设△APQ的面积为S，
①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×(6﹣t)=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，
②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×［2×2×（6﹣2）］=8（cm2)；（6分）

（3)当t为多少秒时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当=时=，∴t=2.4（s）；
②当=时=，∴t=（s）；
综上所述，当t为2.4秒或时,
以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．　
29．解:∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，
∴设AC=3xcm,AB=5xcm,
则BC==4x(cm）,
即4x=8，
解得：x=2，
∴AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm，
设过t秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm)，CQ=tcm,
∵∠C是公共角，
∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，
解得:t=2.4，
②当，即时，△CPQ∽△CAB,
解得：t=，
∴过2。4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．

30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），
∴=k，a=ka1;
又∵c=a1,
∴a=kc；

（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3,c1=2；
此时=2,
∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1;

(3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：
若k=2，则a=2a1,b=2b1,c=2c1;
又∵b=a1，c=b1，
∴a=2a1=2b=4b1=4c；
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c，4c=a,b+c＜a，而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．

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