(1505)相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案).doc

(完整版)(1505)相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案）　

1．已知:如图，在△ABC中,点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG,∠CDG=∠BAD．
(1）求证:=;
（2)当GC⊥BC时,求证：∠BAC=90°．

2．如图,已知在△ABC中，∠ACB=90°,点D在边BC上，CE⊥AB,CF⊥AD，E、F分别是垂足．
（1）求证：AC2=AF•AD；
(2）联结EF,求证:AE•DB=AD•EF．

3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若AP=2，PC=6,求AC的长．

4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD,垂足为点E，连接AE,F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证:△ABF∽△EAD；
（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE的长．

5．已知:如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．
求证:AB•BC=AC•CD．

6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB上，∠ECF=45°,设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．

7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F,连接AF，BE相交于点P．
(1)若AE=CF；
①求证:AF=BE，并求∠APB的度数；
②若AE=2,试求AP•AF的值；
(2)若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．

9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上,DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．
求证：（1)△DEF∽△BDE；（2)DG•DF=DB•EF．

10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点,E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2,问E在何处时CH的长度最大？

11．如图,AB和CD交于点O，当∠A=∠C时,求证：OA•OB=OC•OD．

12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB,过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．
(1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．
(2)证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．

13．已知：如图，△ABC中,点D、E是边AB上的点,CD平分∠ECB,且BC2=BD•BA．
（1）求证：△CED∽△ACD；
（2）求证：．

14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上,点G是BE边上一点,且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．
（1)求证：BD•BC=BG•BE；
（2）求证:∠BGA=∠BAC．

15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点,点E是AC中点,且AD⊥BC,BE⊥AC，BE，AD相交于点G,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．
(1）求AE的长;
（2)求的值．

16．如图，△ABC中,∠ACB=90°，D是AB上一点,M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点,且PN=AN．
（1）求证:MN=MA;
（2）求证:∠CDA=2∠ACD．

17．已知:如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B,DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．
(1)求AC的值；
(2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．

18．在△ABC中,D是BC的中点，且AD=AC,DE⊥BC,与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证:△ABC∽△FCD;
(2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．

19．如图,△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．
（1）求证：∠BAD=∠FDE；
（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．

20．如图所示，△ABC中,∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2)如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒,使△PCQ的面积等于12.6cm2？

21．已知：如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．
(1）求证：△ADE≌△DFC；
（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数;
（3）若BG=，CH=2，求BC的长．

22．如图，在△ABC中,CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．
（1）求证：AE•BC=AC•CE;
（2）若S△ADE：S△CDE=4:3.5，BC=15,求CE的长．

23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
(1）求证：AC2=AB•AD；
(2)求证：CE∥AD；
（3)若AD=4，AB=6，求的值．

24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点,EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB,求证：EF=CD．
（2)如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．
(1）求证：BF=2FP；
(2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．

26．在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC,BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，
（1）求证：;
(2）求∠EDF的度数．

27．如图,△ABC是等边三角形，且AB∥CE．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6,AD=2CD,
①求E到BC的距离EH的长．
②求BE的长．

28．如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．
（1)若AC=3，AB=4，求；
（2)证明：△ACE∽△FBE;
（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

29．如图,△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．

30． 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．

（1）证明：△ADE∽△BDA;
(2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；
(3）若点P为线段AB上一动点，连接PE,则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．

相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案:　
1．解:（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，
且∠CDG=∠BAD，
∴∠ADG=∠B；
∵∠BAC=∠DAG，
∴△ABC∽△ADG，
∴=．
（2）∵∠BAC=∠DAG,
∴∠BAD=∠CAG;
又∵∠CDG=∠BAD，
∴∠CDG=∠CAG,
∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠DAG+∠DCG=180°;
∵GC⊥BC，
∴∠DCG=90°，
∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．

2．解：（1）如图,∵∠ACB=90°，CF⊥AD，
∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，
∴△ACD∽△AFC，
∴，
∴AC2=AF•AD．
（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴A、E、F、C四点共圆,
∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，
∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；
∵∠FAE=∠BAD,
∴△AEF∽△ADB，
∴AE：AD=BD:EF，
∴AE•DB=AD•EF．

3．解:（1)∵PB=PC，
∴∠B=∠PCB；
∵PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠PCB,∠B=∠ACP，
∵∠A=∠A,
∴△APC∽△ACB．
（2）∵△APC∽△ACB，
∴,
∵AP=2,PC=6,AB=8,
∴AC=4．
∵AP+AC=PC=6，
这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，
∴该题无解．

4．（1）证明:∵AD∥BC,
∴∠C+∠ADE=180°，
∵∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠EDA,
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解:∵AB∥CD,BE⊥CD，
∴∠ABE=90°，
∵AB=4，∠BAE=30°,
∴AE=2BE，
由勾股定理可求得AE=　
5．证明:∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACB中，，
∴△ABD∽△ACB,
∴=,
即AB•BC=AC•BD,
∴AB•BC=AC•CD．　
6．证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1,
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；
∴∠BCE=∠2，
∵∠A=∠B,
∴△ACF∽△BEC．
∴，
∴AC•BC=BE•AF，
∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，
∴AF•BE=2S．

7．（1)①证明：∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，
∴，即，所以AP•AF=12

(2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．
①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=6,
∴OA=，
点P的路径是．
②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为：．
所以，点P经过的路径长为或3．

8．证明:∵AD，BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高，
∴∠D=∠E=90°,
∵∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴=．　
9．证明：（1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC,
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．
∴∠BDE=∠CED，
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2)由△DEF∽△BDE，得．
∴DE2=DB•EF,
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
∴，
∴DE2=DG•DF，
∴DG•DF=DB•EF．　
10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x,
∵△ABC、△DEF都是等边三角形,
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC,
∴△BED∽△CHE，
∴，
∵AB=BC=2，点D为AB的中点，
∴BD=1，
∴，
即:y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．
∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点　
11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，
∴△OAD∽△OCB，
∴=，
∴OA•OB=OC•OD．　
12．解：(1）猜测BE和直线AC垂直．
证明：∵△AEC是等边三角形,
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB,
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB（SSS)．
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE=CE，
∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等边三角形，
∴∠EAC=∠AEC=60°,
∵BE⊥AC,
∴∠BEA=∠AEC=30°,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°,
∴∠BAE=15°,
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，
∴△BEF∽△ACB，
延长EB交AC于G，设AC为2a,则BG=a，EB=a﹣a，
∴相似比是：===

13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，
∴BD:BC=BC：BA，
∵∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A,
∵CD平分∠ECB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴∠ECD=∠A，
∵∠EDC=∠CDA，
∴△CED∽△ACD;

（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，
∴=,=，
∴．

14．证明：(1）∵∠DBG=∠EBC,∠BGD=∠C,
∴△BDG∽△BEC,
∴=，
则BD•BC=BG•BE；

（2)∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C,
∴△DBA∽△ABC，
∴=,即AB2=BD•BC，
∵BD•BC=BG•BE，
∴AB2=BG•BE，即=，
∵∠GBA=∠ABE，
∴△GBA∽△ABE，
∴∠BGA=∠BAC．　
15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°,
∵BF∥AC,
∴∠CBF=∠C=60°,
∵AD⊥BC，
∴∠FDB=90°，
∴∠F=30°，
∵DF=6，
∴BD=2，
∵AE=EC=BD=DC，
∴AE=2;

（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，
∴BF=2DB=4，
∵AC∥BF,
∴△AEG∽△FBG，
∴=（）2=．　
16．证明：（1）∵AP∥CD，
∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，
∵∠AMD=∠BMD,
∴∠MAN=∠MNA，
∴MN=MA．
(2）如图，连接NC,

∵AP∥CD，且PN=AN．
∴==，
∴MC=MD,
∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，
∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，
∵AP∥CD，
∴∠NAC=∠ACD，
∴∠NCM=2∠ACD，
∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD,
∴∠CMD=∠DMA，
在△CMN和△DMA中，
，
∴△CMN≌△DMA(SAS），
∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．　
17．解：（1)∵S△ACD：S△ADB﹦1：2,
∴BD=2CD,
∵DC=3，
∴BD=2×3=6,
∴BC=BD+DC=6+3=9，
∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴=，
即=，
解得AC=3；

(2)由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3,
∵AB∥DE，
∴∠B=∠EDF,
∵∠CAD=∠B，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△EFD∽△ADC，
∴=(）2=（）2=

18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB,
∴△ABC∽△FCD；

(2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．
∵AD=AC，
∴DG=CG，
∴BD：BG=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG,
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG=BD：BG=2：3，
∵DE=3，
∴AG=，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴=（)2=．
∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18,
∴S△FCD=S△ABC=．

19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B,
∵∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠FDE；
(2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H,
∵△ABC为等边三角形，
∴△BDH是等边三角形,
∴∠BHD=60°，BD=BH，
∴∠AHD=180°﹣60°=120°,
∵CE是△ABC的外角平分线，
∴∠ACE=(180°﹣60°）=60°，
∴∠DCE=60°+60°=120°,
∴∠AHD=∠DCE=120°，
又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，
∴AH=CD，
在△AHD和△DCE中，
,
∴△AHD≌△DCE(ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=∠DEA=60°,AE=AD=5，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，
∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠EAG，
∴△ABD∽△AEG，
∴=，
即=，
解得AG=．

20．解：(1)设x秒时,点P在AB上，点Q在BC上,且使△PBQ面积为8cm2，
由题意得（6﹣x)•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，
经过2秒时,点P到距离B点4cm处,点Q到距离B点4cm处；
或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处,△PBQ的面积为8cm2,
综上所述,经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；

(2）当P在AB上时，经x秒,△PCQ的面积为:×PB×CQ=×（6﹣x)（8﹣2x）=12.6，
解得：x1=(不合题意舍去），x2=，
经x秒，点P移动到BC上,且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，
过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，
即 QD=，
由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．
经7秒,点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．
经11秒,点P在BC上距离C点3cm处,点Q在CA上距离C点14cm处,14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在．
综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm2　
21．（1)证明:如图，
∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE,
∴∠EDB=60°，DE=DB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠EDB=∠B．
∴EF∥BC．
∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．
∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．
∴AD=DF．
∴△ADE≌△DFC．

（2)解:由△ADE≌△DFC,
得AE=DC，∠1=∠2．
∵ED∥BC,EH∥DC，
∴四边形EHCD是平行四边形．
∴EH=DC，∠3=∠4．
∴AE=EH．
∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．
∴△AEH是等边三角形．
∴∠AHE=60°．

(3）解:设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，
由（2）四边形EHCD是平行四边形,
∴ED=HC．
∴DE=DB=HC=FC=2．
∵EH∥DC,
∴△BGH∽△BDC．
∴．
即．
解得x=1．
∴BC=3．

22．(1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB,
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠DCE，
∴∠DCE=∠EDC,
∴DE=CE，
∴=，即AE•BC=AC•CE；

（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，
∴AE:CE=4：3.5，
∴=，
∵由（1）知=,
∴=,解得DE=6,
∵DE=CE，
∴CE=8．　
23．

(1）证明:∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB•AD;

（2)证明：∵E为AB的中点,
∴CE=AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；

(3）解：∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB,
∴CE=×6=3，
∵AD=4，
∴，
∴．

24．（1）证明:如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：AB=1：2，
∴AB=2AC，
∵点E为AB的中点，
∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
,
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解:如图2，作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sinB==，
∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE．
∵点E为AB的中点，
∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=:3．

25．（1）证明：如图1，连接PN，
∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，
∴PN∥AB，且．
∴△ABF∽△NPF,
∴．
∴BF=2FP．

（2）解：如图2，取AF的中点G,连接MG，
∴MG∥EF，AG=GF=FN．
∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG
=×S△AMN
=××S△ABC=S．

26．（1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴=；

（2）解：∵CE=AC，BF=BC，
∴===,
又∵∠A=∠BCD，
∴∠ACD=∠B，
∴△CED∽△BFD，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．

27．解；(1）∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED；

（2）①过点E作EH⊥BF于点H,
∵△ABC是等边三角形,△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴==,∠A=∠ACB=60°，
∴CE=3，
∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∴∠ECH=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴EH=CE•sin60°=3×=；
②在Rt△ECH中，
∵∠ECH=60°,CE=3，
∴CH=CE•cos60°=3×=，
∴BH=BC+CH=6+=，
∴BE===3．

28．（1)解:∵AC=AC′，AB=AB′,
∴
由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′,
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵AC=3，AB=4,
∴==;

（2）证明:∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，(3分）
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．（4分）

(3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，
∵AC=AC′,
∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°,
即90°﹣α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，
∵∠ABC=α,
∴∠ABC=∠BCE，(8分）
∴CE=BE，
由(2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．(9分）

29．证明：（1)∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠D,
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°,
∴△ABD∽△ECA；

（2）∵△ABD∽△ECA，
∴=，即AB•AC=BD•CE,
∵AB=AC=BC,
∴BC2=BD•CE　
30．

　（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，
又∠C=90°,
∴AD=2，
∴=,==，
∴=，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；
（2）证明：∵△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠B，
又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，
∴∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）解：∵点P为线段AB上一动点，
根据勾股定理得：AE==，BE=，
∴PE的最大值为．
作EF⊥AB，则EF=,则PE的最小值为
∴≤EP≤，
∵EP为整数,即EP=1,2，3，
结合图形可知PE=1时有两个点，
所以PE长为整数的点P个数为4个．

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