选修2-1知识复习.doc

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【本讲教育信息】
一. 教学内容：
◆ 选修2－1知识复习（一)

二. 教学目的：
通过对选修2－1各章节重点知识分析及例题讲解,加强对本册知识的掌握.

三. 教学重点、难点:
重点问题专题讲解

四. 知识分析
（一）充分条件与必要条件
       充分条件与必要条件是对命题进行研究的重要途径，因而这部分知识是高考的必考内容。高考一般以选择题形式出现，考查同学们的逻辑推理能力,往往与其他知识结合起来考查。

一、应用充分条件、必要条件、充要条件时需注意的问题
1。 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：
       （1）确定条件是什么,结论是什么;
（2)尝试从条件推结论，结论推条件；
(3)确定条件是结论的什么条件；
（4）要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性。
2。 对于充要条件，要熟悉它的同义词语。
       在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”，“必须且只需"，“等价于”，“反过来也成立",准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的。

二、典型例题
  例1。 是否存在实数p，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围.
       分析：“”是条件，“”是结论，先解出这两个不等式，再探究符合条件的p的范围。
       解:的解是或
       由得
       要使时,或成立，必须有,即。
       当时，有
       所以当时，“”是“”的充分条件。
       点评：本题用集合的包含关系去理解要容易解答，注意结合数轴来确定p的范围。

  例2. 求证:直线与圆相切的充要条件是：。
       分析：本题的条件是“”,结论是“直线与圆相切”。证明过程主要运用方程(组）思想。
       证明：必要性:
       由方程组得：

       因为直线与圆相切，所以方程必有两相等实根.
       故
       即
       充分性：
       若，由得:

       判别式

       所以直线与圆相切。
       点评：证明充要条件首先要识别什么是条件,什么是结论，然后再证明条件的充分性（即条件结论)和条件的必要性（即结论条件）。

(二）命题及其关系
一、基础知识梳理
  1. 命题：可以判断真假的语句叫做命题。
  2. 四种命题。
       原命题：如果p，那么q（或若p,则q);
       逆命题:如果q，则p；
       否命题：如果，则；
       逆否命题:如果q，则p.
       注：原命题与它的逆否命题同为真假,原命题的逆命题与它的否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证)，我们可通过与它同真假的（具有逆否关系的)命题来判断（或推证)。

二、典例剖析
  例1。 设函数的定义域为R，有下列三个命题:
       ①如果存在常数M，使得对任意,有，则M是函数的最大值;
②如果存在，使得对任意,且，有，则是函数的最大值；
③如果存在,使得对任意，有,则是函数的最大值。
这些命题中，真命题的个数是(    ）
A。 0               B. 1               C。 2               D。 3
解析：①错。原因：“=”可能取不到。
②，③都正确。故选C。

  例2. 如果a、b、c∈R，写出命题“如果ac〈0，则有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假。
       分析：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题,最后判断真假。
       解:逆命题“如果（a,b，c∈R）有两个不相等的实数根,则”是假命题，如当时,方程有两个不相等的实根，但，故为假命题。
       否命题“如果，则方程（a，b，c∈R)不存在两个不相等的实数根”是假命题。这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题。
       逆否命题“如果（a，b，c∈R）不存在两个不相等的实数根，则"是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题的真假性相同。

  例3. 写出命题“当时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
       分析：把原命题改成“如果p，则q"的形式,再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
       解：原命题：如果,则a=0或b=0或c=0，是真命题。
       逆命题:如果a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题。
       否命题：如果，则且且，是真命题。
       逆否命题：如果a0且b0且c0,则abc0，是真命题。

（三）逻辑联结词
       对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的考查,一般融入到具体的数学问题之中,以代数、三角、解析几何的内容为载体，考查对逻辑知识的运用,一般难度不大。
一、注意事项
  1。 逻辑联结词“且”、“或”、“非”含义的理解。
       （1)“或”与日常生活用语中“或”的意义有所不同，日常用语中的“或"有时带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如或.
（2)集合中的“交”、“并"、“补"与逻辑联结词“且"、“或”、“非”密切相关.
①，集合的并集是用“或”来定义的.
②，集合的交集是用“且”来定义的。
③,集合的补集与“非”密切相关.
④“或"、“且"的否定形式；“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”。
  2. 对于“p或q”，只有p，q都为假时才为假，其他情况为真；对于“p且q”，只有p，q都为真时才为真，其他情况为假；非p的真假与p的真假相反。

二、范例剖析
  例1。 分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假。
       （1）p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直;
（2）p：方程的两实根符号相同，q：方程的两实根绝对值相等;
（3）p：π是有理数，q：π是无理数.
解：（1)p或q:菱形的对角线相等或互相垂直,真；
p且q:菱形的对角线相等且互相垂直,假;
非p：菱形的对角线不一定相等，真。
(2）p或q：方程的两实根符号相同或绝对值相等,假；
p且q:方程的两实根符号相同且绝对值相等，假；
非p:方程的两实根符号不同，真
（3）p或q:π是有理数或是无理数，真;
p且q：π是有理数且是无理数，假；
非p：π不是有理数，真。
评注:判断含有逻辑联结词“且”、“或”、“非"的命题的真假,首先要弄清结构,先确定命题的构成形式以及构成它的命题p,q的真假，然后根据结论判断命题的真假。

  例2. 命题p：方程有两个不等的负实数根,命题q：方程无实数根。若“p或q"为真命题，“p且q”为假命题，试求m的取值范围。
       解：由p得
       解得m〉2
       由q知，

解得
因为“p或q”为真,“p且q"为假，
所以p为真,q为假;若p为假,q为真。
即；或
解得或即为所求。
评注：该例涉及一元二次方程、一元二次不等式(组）、补集以及“p或q"，“p且q”两类命题的判断等知识.解答时，应注意层层推进，先将p,q化简，然后依题设条件“p或q”为真，“p且q”为假,推导出所有可能情况。

（四)全称量词与存在量词
       全称量词与存在量词是新课标中的新增内容，在以往的高考中没有出现，为了体现新课标的精神，在今后的高考中一定会有体现，预计主要以选择题和填空题的形式出现,并且是和其他知识结合起来进行考查。
一、全称量词
       概念：短语“对所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“"表示。
       注意：
（1）将含有变量x的语句用，，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有成立”，可简记为“,".
（2）全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.
(3)要判断全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题。

二、存在量词
       概念:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.
       注意:
       （1）存在性命题“存在M中的一个x，使成立”，可用符号简记为“,”.
（2）存在性命题就是陈述在某集合中（存在）一些元素具有某性质的命题。
（3）要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，能找到一个，使成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题。

三、含有一个量词的命题的否定
       全称命题p:，它的否定是:，全称命题的否定是存在性命题.
       存在性命题,，它的否定是,存在性命题的否定是全称命题.

四、范例点评
  例1. 下列语句是不是全称命题或者存在性命题：
       （1）有一个实数m，m不能取对数；
（2)三角函数都是周期函数吗？
（3）所有不等式的解集A，都有。
分析:利用全称命题与存在性命题的概念来判定。
解:（1)存在性命题
(2）不是命题。
（3）全称命题。
评注：（2)由于不是命题,当然就不是全称命题或者存在性命题了。

  例2。 写出下列命题的否定并判断其真假.
       （1)p:所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
（2)p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
（3）p:某些梯形的对角线互相平分。
分析：首先要弄清楚命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定。
解：（1)：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,假命题.
（2)：任何一个三角形,它的内角和不大于180°，真命题。
（3）：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题。

（五)曲线与方程
       在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程F(x,y）=0的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。曲线与方程部分重点是曲线的方程与方程的曲线的概念以及理解和掌握求曲线方程的步骤。难点是曲线和方程的对应关系的理解和求曲线方程方法的掌握。下面通过几例来体验一下如何突破曲线与方程的重难点。
  例1. 如果曲线l上的点的坐标满足F（x，y）=0，则以下说法正确的是（    )
       A。 曲线l的方程是F（x，y)=0
B. 方程F（x，y）=0的曲线为l
C. 坐标不满足方程F（x，y）=0的点不在曲线l上
D。 坐标满足方程F（x，y)=0的点在曲线l上
分析：从“曲线的方程”和“方程的曲线"两方面判断。
解法一：原说法写成命题形式即“若点M（x，y）是曲线l上的点，则M点的坐标满足方程F（x，y)=0”。
其逆否命题为“若M点的坐标不适合方程F(x，y）=0，则M点不在曲线l上”，此即说法C。
解法二：作如图所示的曲线l，考查l与方程F(x，y）=的关系，显然A、B、D的说法全不正确。故选C。

点评:本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法—-等价转换法（解法一）和特值法（解法二），其中特值法应引起同学们的重视.

  例2。 如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O,(b〉0）,动点P满足，求动点P的轨迹方程。

       分析：本题需要建立适当的坐标系，然后将已知条件用坐标表示。
       解：以O为坐标原点,直线AB，CD分别为x轴、y轴建立坐标系，设P(x，y）是曲线上的任意一点。
       则A（－a，0)，B（a，0），C（0,－b）,D（0,b）
       由题意知：
       所以

化简得：
即动点P的轨迹方程为。
点评:本题的关键是建立适当的坐标系,本题的建系方法，运算量较小。若建系不恰当,计算量会大大增加,有时很可能得不出正确的结果。

  例3. 过定点A(a，b）任作互相垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于M点,l2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程.
       分析:题目给出了3个条件：A（a，b),l1⊥l2，点M，N。可从不同的角度去分析3个条件之间的联系。
       解法一：当直线AM斜率存在时，设P（x，y）,则M（2x，0)，N（0，2y)。
       于是
       因为l1⊥l2，所以
       化简得：.
       当直线AM⊥x轴时，MN的中点坐标为（）也满足上述方程.
       故所求点P的轨迹方程为。
       解法二：设P（x,y），M（,0)，N（0,）
       则
       因为l1⊥l2，
       所以。
       化简得
       故所求点P的轨迹方程为
       解法三：（1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为，依题意。因为l1⊥l2，所以l2的斜率为。
l1的方程为             ①
l2的方程为          ②
在①中令y=0，得M点的横坐标。
在②中令x=0，得N点的纵坐标.
设MN中点P的坐标为(x，y）,即
消去k1得：
（2）当l1平行于y轴时，MN的中点坐标为（），其坐标也满足上述方程。
故所求点P的轨迹方程为.

（六）椭圆
       平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。椭圆部分的重点是椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、几何性质。难点是利用椭圆的定义解题，求椭圆的方程，椭圆的几何性质及应用.下面通过几例来体验一下如何突破椭圆的重难点。
  例1。 在△ABC中，BC=24，AC，AB边上的中线长之和等于39,求△ABC的重心的轨迹方程。
       分析:有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B，C以及△ABC的重心有关系，因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系.
       解：如图所示,以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.

       设M是△ABC的重心,BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知。
       于是

       根据椭圆的定义知,点M的轨迹是以B,C为焦点的椭圆。
       因为，所以a=13。
       又，所以。
       于是
       故△ABC重心的轨迹方程为。
       评注：解本题的关键是由三角形中线的性质推导出动点M到两个定点距离之和为定值。

  例2. 椭圆的左焦点为，点A（,0)和B(0,b）是椭圆的两个顶点，如果到直线AB的距离为，则椭圆的离心率_______.
       分析：要求e的值，就是要求出a，c的值或a与c的关系，为此需利用到直线AB的距离为建立方程,从而求解.
       解：如图所示,过点F1作F1P⊥AB交AB于P

       ,
由面积公式得：.
又，所以整理得：
所以
即
解得(舍去）
故应填。
评注：上述解法用了等积变换，也可以利用点到直线的距离公式求解，同学们不妨考虑一下.

  例3。 如图所示，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB与OM平行。
       （1）求椭圆的离心率;
(2）设Q是椭圆上的任意一点，是右焦点，求∠的取值范围；
（3）设Q是椭圆上一点,当时,延长与椭圆交于另一点P，若的面积为，求此时椭圆的方程。

分析：要求离心率e,可由，寻找a，b，c之间的关系;要求∠的取值范围，可考虑在中,用余弦定理求解;要求椭圆的方程，可利用的面积为的条件,由，求出直线PQ的斜率，进而求出｜PQ|，利用点到直线的距离求出的高，问题就得到解决了。
解：（1）设椭圆半焦距为c，则M（）
因为，所以
所以。故。
（2）设，∠，
则
所以

当且仅当时，上式等号成立。
所以.即.
（3）因为,
所以可设椭圆方程为
因为PQ⊥AB,，所以
所以直线PQ的方程为
代入椭圆方程,得
所以
因为点F1到直线PQ的距离
所以.
由，得
故所求椭圆方程为
评注：本题主要考查椭圆的定义与性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强。

（七）双曲线
一、方法、技能、规律小结
  1. 学习中，要注意熟练地应用定义解题。
  2. 联系椭圆知识,寻求椭圆与双曲线的区别和联系，学会类比,以求举一反三。

  3。 在求双曲线的方程时,注意先定形，后定量。
  4. 探究双曲线的性质时,注意提炼一些常用结论.
       例如：对于
       （1）实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列；
(2）实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列∠ABF=90°（A为右顶点，B为虚轴上的端点,F为左焦点）;
（3）实轴长等于虚轴长渐近线为。
  5。 解有关双曲线的问题，要注意数形结合。

二、 典型例题
  例1。 若一个动点P（x，y）到两个定点(－1,0)，（1，0)的距离之差的绝对值为定值a（），求P的轨迹方程.
       分析：由题设条件,容易联想到双曲线，但注意到双曲线定义中的条件，而题中a与2的大小不确定，故需讨论。
       解:（1)当0<a〈2时，轨迹为以为焦点的双曲线,其方程为。
（2）当a=0时,轨迹为的垂直平分线，即y轴，方程为。
（3）当a=2时，轨迹是两条射线或。
（4）当a>2时,轨迹不存在。
评注：对双曲线定义的理解要准确，不能忽视定义中的限制条件。

  例2。 已知双曲线过P1（）和P2(，4）两点，求双曲线的标准方程。
       分析：由题意无法判定焦点所在位置，焦点在x轴上和在y轴上两种情况都有可能，因此应分别设和,用代定系数法求解.（同学们可自行求解。）
       若把方程设为，那么该方程既能表示焦点在x轴上的双曲线，又能表示焦点在y轴上的双曲线,“身兼二职”，这样就可一次成功，方便多了.
       解：设所示双曲线方程为。
       因为在双曲线上，所以有：

       解得
       所以所求双曲线方程为.
       评注:解完后才知焦点只能在y轴上！设的技巧值得同学们学习、掌握.

  例3. 已知双曲线以为渐近线，且过点（1，2),求该双曲线的方程。
       分析：判断所求双曲线的焦点在x轴还是在y轴上，是解决本题的关键。
       如图，由（1，2）在（1，）的上方，可知焦点在y轴上。

       于是可设双曲线方程为。
       由已知
       故所求双曲线方程为
       实际上,若利用已知渐近线的双曲线方程的巧设去处理，则要简便易行。
       解：设所求双曲线方程为
       将（1，2）代入得
       故所示双曲线方程为
       即
       评注：该解法实际上是整体思维的模式，用处广泛，应引起同学们的重视。

  例4。 （2006全国卷II）已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（    ）
       A.             B。              C。             D.
       解：由已知

故选A.
评注:求离心率，实际上是求a，c的关系，又因为有，故只要找到a，b，c中任意两个量的关系,立即可求得离心率。

【模拟试题】
一、选择题
1、如果实数满足等式,那么的最大值是(    ）
A、                   B、               C、               D、
2、若直线与圆相切，则的值为(      ）
A、                B、             C、                   D、
3、已知椭圆的两个焦点为、，且,弦AB过点，则△的周长为(    ）
（A）10                (B）20               (C)2        （D）
4、椭圆上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P 到它的右焦点的距离是(   ）
（A）15                （B）12               （C）10              (D)8
5、椭圆的焦点、,P为椭圆上的一点,已知,则△的面积为（   )
（A)9                  （B）12               （C）10              （D）8
6、椭圆上的点到直线的最大距离是（   ）
（A）3                  （B）          （C）          （D）
7、以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（   ）
(A）                           (B)
（C)或    (D）或
8、双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P点到左准线的距离为（   ）
（A）6                 (B）8                （C)10              （D）12
9、过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ｜=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（   ）
（A）28                (B）   （C）   (D）
10、双曲线虚轴上的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，，则双曲线的离心率为(   ）
（A)              (B）           （C)           (D）
11、过抛物线(a〉0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（   )
（A)2a                 （B）            (C）             D）
12、如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（   ）
(A)                             （B）
(C)                    （D）

二、填空题
13、与椭圆具有相同的离心率且过点(2，—)的椭圆的标准方程是________
14、离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是________。
15、过抛物线(p〉0）的焦点F作一直线l与抛物线交于P、Q两点，作PP1、QQ1垂直于抛物线的准线，垂足分别是P1、Q1，已知线段PF、QF的长度分别是a、b，那么|P1Q1｜=    。
16、若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=______。

【试题答案】
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
D
B
A
D
D
B
C
B
C
D
13、或
14、
15、
16、