高中数学选修2-1模块复习资料.doc

模块复习提升课一常用逻辑用语,学生用书P76)1四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若p，则q逆否命题若q，则p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2充分条件与必要条件(1)如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)分类充要条件：pq且qp，记作pq；充分不必要条件：pq，qp；必要不充分条件：qp，pq，既不充分也不必要条件：pq，且qp.3简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得pq，pq，p.(2)命题pq，pq，p的真假判断pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与p必定是一真一假4全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题全称量词用符号“”表示全称命题用符号简记为xM，p(x)(2)存在量词与特称命题存在量词用符号“”表示特称命题用符号简记为x0M，p(x0)5含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，p(x0)x0M，p(x0)xM，p(x)1否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若p，则q”；命题的否定为“若p，则q”2判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆如“a0”是“ab0”的充分不必要条件，“ab0”是“a0”的必要不充分条件3注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”四种命题及其关系学生用书P76设命题为“若k0，则关于x的方程x2xk0有实数根”，该命题的否定、逆命题、否命题和逆否命题中假命题的个数为_【解析】命题的否定：若k0，则关于x的方程x2xk0没有实数根假命题；逆命题：若关于x的方程x2xk0有实数根，则k0.假命题；否命题：若k0，则关于x的方程x2xk0没有实数根假命题；逆否命题：若关于x的方程x2xk0没有实数根，则k0.真命题【答案】3四种命题的写法及其真假的判断方法(1)四种命题的写法明确条件和结论：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出命题的逆命题、否命题、逆否命题；应注意：原命题中的前提不能作为命题的条件(2)简单命题真假的判断方法直接法：判断简单命题的真假，通常用直接法判断用直接法判断时，应先分清条件和结论，运用命题所涉及的知识进行推理论证； 间接法：当命题的真假不易判断时，还可以用间接法，转化为等价命题或举反例用转化法判断时，需要准确地写出所给命题的等价命题写出命题“若(y1)20，则x2且y1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若x2且y1，则(y1)20，真命题否命题：若(y1)20，则x2或y1，真命题逆否命题：若x2或y1，则(y1)20，真命题充分、必要条件的判断及应用学生用书P77(1)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)已知集合Ax|x|4，xR，Bx|xa，则“a5”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】(1)由正弦定理，知ab2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)sin Asin B故选A.(2)Ax|x|4，xRAx|4x4，所以ABa4，而a5a4，且a4a5，所以“a5”是“AB”的充分不必要条件【答案】(1)A(2)A判断充分、必要条件的方法集合法：即看集合A和B的包含关系若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件 若AB，则A是B的充分不必要条件；若AB，则A是B的必要不充分条件；若AB，则A，B互为充要条件；若AB，且AB，则A是B的既不充分也不必要条件已知p：x28x200，q：x22x1a20，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围解：设Ax|x28x200x|x10，Bx|x22x1a20x|x1a，由于p是q的充分而不必要条件，可知AB.从而或解得01，logax00(a1)，所以命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)综上可知，“p或q”是假命题，故选B.(2)若p为真命题，则2a1a，解得a1.若q为真命题，则2a2a，解得a2.依题意得p与q一真一假，若p真q假，则即1a2.若p假q真，则a不存在综上1a2.【答案】(1)B(2)(1，2判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(1)先确定简单命题p，q.(2)分别确定简单命题p，q的真假(3)利用真值表判断所给命题的真假 1.已知命题p：若a1，则axlogax恒成立；命题q：在等差数列an中(其中公差d0)，“mnpq”是“amanapaq”的充分不必要条件(m，n，p，qN*)，则下面选项中真命题是()Apq BpqCpq Dpq解析：选B.对于命题p，如图所示作出函数yax(a1)与ylogax(a1)在(0，)上的图象，显然当a1时，函数yax的图象在函数ylogax图象的上方，即a1时，axlogax恒成立，故命题p为真命题对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，“mnpq”是“amanapaq”的充要条件，故命题q为假命题所以p为假，q为真，所以pq为假，pq为假，pq为假，pq为真2设命题p：c2c和命题q：xR，x24cx10，且pq为真，pq为假，则实数c的取值范围是_解析：解不等式c2c，得0c1，即命题p：0c1，所以命题p：c0或c1.又由(4c)240，得c，即命题q：c，所以命题q：c或c，由pq为真，知p与q中至少有一个为真，由pq为假，知p与q中至少有一个为假，所以p与q中一个为真命题，一个为假命题当p真q假时，实数c的取值范围是c1.当p假q真时，实数c的取值范围是c0.综上所述，实数c的取值范围是c0或c1.答案：全称命题与特称命题学生用书P78(1)命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是()Ax(0，)，ln xx1Bx(0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0x01Dx0(0，)，ln x0x01(2)若命题“x0R，使得x(a1)x010”是真命题，则实数a的取值范围是_【解析】(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，改为，x0改为x，否定结论，即ln xx1，故选A.(2)因为x0R，使得x(a1)x010是真命题，所以方程x(a1)x010有两个不等实根，所以(a1)240，解得a3或a1.【答案】(1)A(2)(，1)(3，)全称命题、特称命题真假判断(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假 1.已知命题p：x0，总有(x1)ex1，则p为()Ax00，使得(x01)ex01Bx00，使得(x01)ex01Cx0，总有(x1)ex1Dx0，总有(x1)ex1解析：选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：x0，总有(x1)ex1的否定是p：x00，使得(x01)ex01.2已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，若x11，2，x21，2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()ABC(0，3D3，)解析：选D.由函数的性质可得函数f(x)x22x的值域为1，3，g(x)ax2的值域是2a，22a因为x11，2，x21，2，使得f(x1)g(x2)，所以1，32a，22a，所以解得a3.,学生用书P147(单独成册)A基础达标1命题“若a0，则a20”的逆命题是()A若a0，则a20B若a20，则a0C若a0，则a20 D若a0，则a20解析：选B.交换原命题的条件和结论即可得其逆命题2若命题p：x2且y3，则p为()Ax2或y3 Bx2且y3Cx2或y3 Dx2或y3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以p：x2或y3.故选A.3下列表述错误的是()A存在，R，使tan()tan tan B命题“若aM，则bM”的等价命题是“若bM，则aM”C“x2”是“x24”的充分不必要条件D对任意的R，函数ysin(2x)都不是偶函数解析：选D.当0，时，tantan 0tan成立，故选项A正确对于选项B、C，显然正确在D中，存在k(kZ)时，函数ysin(2x)是偶函数，D错误4设p：log2x1，则p是q的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.p：log2x00x1xlg x0，命题q：xR，x20，则()A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p(q)是真命题D命题p(q)是假命题解析：选C.当x10时，x28，lg xlg 101，故命题p为真命题，令x0，则x20，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题pq是真命题，命题pq是假命题，q是真命题，进而得到命题p(q)是真命题，命题p(q)是真命题故选C.6写出命题“若方程ax2bxc0的两根均大于0，则ac0”的一个等价命题：_解析：一个命题与其逆否命题是等价命题答案：若ac0，则方程ax2bxc0的两根不均大于07给出下列三个命题：当m0时，函数f(x)mx22x是奇函数；若b2ac，则a，b，c成等比数列；已知x，y是实数，若xy2，则x1或y1.其中为真命题的是_(填序号)解析：中，当m0时，f(x)mx22x2x是奇函数，故是真命题；中，取ab0，c1，满足b2ac，但a，b，c不成等比数列，故不是真命题；的逆否命题为“已知x，y是实数，若x1且y1，则xy2”是真命题，所以原命题也是真命题，即是真命题答案：8已知p：4xa4，q：(x2)(3x)0.若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_解析：p：4xa4，即a4xa4；q：(x2)(3x)0，即2x3，所以p：xa4或xa4，q：x2或x3；而p是q的充分条件，所以解得1a6.答案：1，69指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：x|x2或x3；q：x|x2x60；(2)p：a与b都是奇数；q：ab是偶数；(3)p：0m2或x3R，x|x2x60x|2x2或x3 x|2x3，而x|2x2或x3所以p是q的必要不充分条件(2)因为a、b都是奇数ab为偶数，而ab为偶数 a、b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件(3)mx22x30有两个同号不等实根0mm21的解集是R；q：幂函数f(x)x73m在(0，)上是减函数若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题故p和q两个命题一真一假若p真，则2m2m21，即2m2m10，所以1m.若q真，则73m.p真q假时，1m.所以m的取值范围是.B能力提升11设f(x)x24x(xR)，则f(x)0的一个必要不充分条件是()Ax0 Bx0或x4C|x1|1 D|x2|3解析：选C.由x24x0有x4或x0，故f(x)0的必要不充分条件中x的取值范围应包含集合x|x4或x0，验证可知，只有C选项符合12下列选项中叙述错误的是()A命题“若x23x20，则x1”的逆否命题为假命题B“x2”是“x23x20”的充分不必要条件C若“pq”为假命题，则“(p)(q)”也为假命题D若命题p：xR，x2x10，则p：x0R，xx010解析：选C.对于A，命题“若x23x20，则x1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于B，由x2可得x23x2(x1)(x2)0，反过来，由x23x20不能得知x2，因此“x2”是“x23x20”的充分不必要条件；对于C，若“pq”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(p)(q)”是真命题；对于D，命题p：xR，x2x10，则p：x0R，xx010，综上所述，选C.13已知a0，函数f(x)axbx2.(1)当b0时，若对任意xR，都有f(x)1，证明：a2；(2)当b1时，证明：对任意x0，1，|f(x)|1的充要条件是b1a2.证明：(1)此题等价于对所有xR有axbx21，即bx2ax10，因为b0，所以a24b0.又因为a0，所以a2.(2)必要性：设对所有x0，1，有|f(x)|1，即1axbx21.令x10，1，则有1ab1，即b1ab1.因为b1，所以.这说明0，1所以f1，即b1.所以a24b，a2.综上所述，有b1a2.充分性：设b1a2.因为b1，所以1.所以当x0，1时f(x)的最大值为f(x)maxfab1.又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线，所以当x0，1时，f(x)的最小值f(x)minminf(0)，f(1)min0，ab1.所以当x0，1时，|f(x)|1.综合可知，当b1时，对任意x0，1有|f(x)|1的充要条件是b1a2.14(选做题)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若同时满足条件：对任意xR，f(x)0或g(x)0；存在x(，4)，f(x)g(x)0，求m的取值范围解：将转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集与(，4)的交集非空若g(x)2x20，则x1.又因为对任意xR，g(x)0或f(x)0，所以1，)是f(x)0的解集的子集又由f(x)m(x2m)(xm3)0知，m不可能大于或等于0，因此m0.当m0时，f(x)0.当2mm3，即m1时，f(x)m3，即1m0时，f(x)2m或xm3依题意2m1，即m，所以1m0.当2mm3，即m1时，f(x)0的解集为x|xm3依题意m34，所以4m1.因此满足的m的取值范围是4m0.中，因为当x(，4)时，g(x)2x20，即f(x)0的解集与(，4)的交集非空又m0，则(x2m)(xm3)0.由的解法知，当1mm3，即m31，此时无解当m1时，f(x)(x2)2恒小于或等于0，此时无解当m1时，2mm3，即2m4，所以m2.综合可知满足条件的m的取值范围是4mb0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线yx或yx无限延展，没有渐近线，有准线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0e1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积Sb2tan.(2)焦点三角形的周长L2a2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx.(2)如果双曲线的渐近线为0时，它的双曲线方程可设为(0)4特殊的两个双曲线(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线与1具有相同渐近线的双曲线系方程为k(k0)(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距(3)等轴双曲线方程一般设为x2y2a2(或y2x2a2)5抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2ax(a0)或x2ay(a0)6抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论(1)y22px(p0)中，|AB|x1x2p.(2)y22px(p0)中，|AB|x1x2p.(3)x22py(p0)中，|AB|y1y2p(4)x22py(p0)中，|AB|y1y2p.1椭圆的定义|PF1|PF2|2a中，应有2a|F1F2|，双曲线定义|PF1|PF2|2a中，应有2ab0，a，b为常数)，动圆O：x2y2t，bt1a.点A1、A2分别为C0的左、右顶点，圆O与椭圆C0相交于A，B，C，D四点，求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程【解】(1)设P(x，y)，则Q(x，1)因为，所以(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，即x24y，所以动点P的轨迹C的方程为x24y.故填x24y.(2)设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，又知A1(a，0)，A2(a，0)，则直线AA1的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)，由，得y2(x2a2)，又点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1，从而yb2.把代入，得1(xa，y0)，即为点M的轨迹方程求曲线方程的常用方法及特点(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数 已知动点M到定点A(1，0)与到定直线l：x3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，作MNl于N，由|MA|MN|4得|x3|4.当x3时，上式化简为y212(x4)；当x3时，上式化简为y24x.所以点M的轨迹方程为y212(x4)(x3)和y24x(xb0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是()ABCD(2)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B2C4 D4【解析】(1)abc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e.(2)双曲线的一条渐近线方程为0，即bxay0，焦点(c，0)到该渐近线的距离为，故b，结合2，c2a2b2得c2，则双曲线C的焦距为2c4.【答案】(1)A(2)C求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法 1.过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析：设直线方程为y(xc)，由得x，由2a，e，解得e2(e2舍去)答案：22已知抛物线x28y的焦点F到双曲线C：1(a0，b0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x28y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为_解析：抛物线焦点为F(0，2)，准线为y2，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，依题意可得，即，又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y2的距离之和的最小值为3，所以|PF|PF2|FF2|3，在RtFOF2中，|OF2|，所以c，所以a2，b1，所以双曲线方程为y21.答案：y21直线与圆锥曲线的位置关系学生用书P81已知椭圆1(ab0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|MB|，求直线l的斜率k的值【解】(1)|PF1|PF2|2a2，所以a，e，所以c1，所以b2a2c2211，所以椭圆的标准方程为y21.(2)由第一问知F2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为yk(x1)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)联立直线与椭圆的方程化简得：(12k2)x24k2x2k220，所以x1x2，y1y2k(x1x2)2k，所以AB的中点坐标为，当k0时，AB的中垂线方程为y，因为|MA|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：，即2k27k0，解得k或k.当k0时，AB的中垂线方程为x0，满足题意所以斜率k的取值为0，.直线与圆锥曲线关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故“0”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；b0)的右焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求OAB面积的最大值解：(1)因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，所以所以a，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB斜率存在时，直线AB的方程为ykxm，代入椭圆方程，消元可得(13k2)x26kmx3m230，所以x1x2，x1x2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以0.所以x1x2y1y20，所以(1k2)kmm20，所以4m23(k21)所以原点O到直线的距离为d，当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1x2，y1y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以0，所以x1x2y1y20，所以xy0，因为x3y3，所以|x1|y1|，所以原点O到直线的距离为d|x1|，综上，点O到直线AB的距离为定值(3)当直线AB斜率存在时，由弦长公式可得|AB|x1x2|2，当且仅当k时，等号成立，所以|AB|2，当直线AB斜率不存在时，|AB|y1y2|2，所以OAB面积|AB|d2，所以OAB面积的最大值为.,学生用书P149(单独成册)A基础达标1已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为()A(1，0)BC D(0，1)解析：选C.因为抛物线过点(1，4)，所以42a，所以a2，所以抛物线方程为x2y，焦点坐标为.故选C.2设k3，k0，则下列关于二次曲线1与1的说法正确的是()A它们表示的曲线一条为双曲线，另一条为椭圆B有相同的顶点C有相同的焦点D有相同的离心率解析：选C.当0k3时，则03k3，所以1表示实轴在x轴上的双曲线，a2b23c2.所以两曲线有相同焦点；当k0且3kk，所以1表示焦点在x轴上的椭圆a23k，b2k.所以a2b23c2，与已知椭圆有相同焦点3设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|PF2|，则此双曲线的离心率为()ABC1 D3解析：选C.由题知PF1PF2，则得1.故选C.4已知点P是椭圆16x225y2400上一点，且在