高中数学人教A版选修2-1模块综合测试.doc

高中数学人教A版选修2-1模块综合测试
时间：120分钟　　分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋<0”；命题q：“存在x∈R，使sinx＋cosx＝成立”．则下列判断正确的是(　　)
A．p∨q为假命题 B．p∧q为真命题
C．綈p∧q为真命题 D．綈p∨綈q是假命题
解析：易知p假，q真，从而可判断得C正确．
答案：C
2．已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“()a<()b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵lna>lnb⇔a>b>0，()a<()b⇔a>b.而a>b>0是a>b的充分而不必要条件．
∴“lna>lnb”是“()a<()b”的充分而不必要条件．
答案：A
3．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：B
4．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由－＝－1，得－＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)、(0，－4)，顶点坐标为(0,2)、(0，－2)．∴椭圆方程为＋＝1.
答案：D
5．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是(　　)
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．y2＝6x D．y2＝－6x
解析：由－＝1，得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9.
∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．
故＝3.∴抛物线方程为y2＝12x.
答案：A
6．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2.而由双曲线－＝1，得渐近线为y＝±x＝±x.
答案：D
7．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：6＝＋2＋3，则(　　)
A．四点O、A、B、C必共面
B．四点P、A、B、C必共面
C．四点O、P、B、C必共面
D．五点O、P、A、B、C必共面
解析：由已知得＝＋＋，而＋＋＝1，∴四点P、A、B、C共面．
答案：B

图1
8．如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是(　　)
A．{}
B．{α|≤α≤}
C．{α|≤α≤}
D．{α|≤α≤}
解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM上，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．
答案：A

图2
9．如图2，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　)
A. B．2
C. D.
解析：由题可知||＝1，||＝1，||＝.〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.
∴||2＝(－＋)2＝＋＋－·＋·－·
＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.
答案：D
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：建立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)．
∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.
∴令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，

图3
∴cos〈n，〉＝＝＝.
∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.
∴直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.
答案：C
11．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1,3) B ．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

图4
解析：由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图4.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，
即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3a.
又∵c>a，∴a<c≤3a.
∴1<≤3，即1<e≤3.
答案：B
12．(2011·全国高考)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(　　)
A．7π B．9π
C．11π D．13π

图5
解析：由圆M的面积知圆M的半径为2，|OM|＝＝2.|ON|＝|OM|·sin30°＝.从而圆N的半径r＝＝，所以圆N的面积S＝πr2＝13π.故选D.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)

图6
13．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
解析：＝(＋)＝＋(＋)
＝＋＋＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
14．若命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p∧q”“p∨q”及“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．
解析：p为假命题，因为a符号不定，q为假命题，因为a、b大小不确定．所以p∧q假，p∨q假，綈p真．
答案：綈p
15．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．

图7
解析：如图7，根据定义，d1即为P到焦点(1,0)的距离，∴d1＋d2的最小值也就是焦点到直线的距离．
∴(d1＋d2)min＝＝.
答案：
16．有下列命题：①双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点；②“－<x<0”是“2x2－5x－3<0”的必要不充分条件；③若a与b共线，则a，b所在直线平行；④若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；⑤∀x∈R，x2－3x＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你认为正确的命题的序号填在横线上)
解析：①中，双曲线c＝25＋9＝34，椭圆c＝35－1＝34，故①正确；
②中，∵2x2－5x－3<0，∴－<x<3.又－<x<0⇒－<x<3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；
③中，a和b所在直线可能重合，故③错；
④中，a，b，c可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故④错；
⑤中，Δ＝9－12<0，故对∀x∈R，x2－3x＋3≠0成立．
答案：①⑤
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知p：“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交”；q：“mx2－x＋m－4＝0有一正根和一负根”．若p∨q为真，綈p为真，求m的取值范围．
解：对p：∵直线与圆相交，
∴d＝<1.∴－＋1<m<＋1.
对q：方程mx2－x＋m－4＝0有一正根一负根，
∴令f(x)＝mx2－x＋m－4.
∴或解得0<m<4.
又∵綈p为真，∴p假．又∵p∨q为真，∴q为真．
由数轴可得＋1≤m<4.故m的取值范围是＋1≤m<4.
18．(12分)已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－m)2＝9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切．当m＝5时，求双曲线G的方程．
解：椭圆D：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)、F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.当m＝5时，圆心为(0,5)，半径为r＝3.
∴＝3⇒a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
19．(12分)已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体，
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．

图8
解：(1)如图8，取AA′的中点E，D′F＝2FC′，＝＋＋.
(2)＝＋＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
20．(12分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，是否存在常数a、b、c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？
解：假设存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立，
∵f(x)的图象过点(－1,0)，
∴a－b＋c＝0.①
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
∴当x＝1时，也成立，即1≤f(1)≤1，
∴f(1)＝a＋b＋c＝1，②
由①②得b＝，故原不等式可化为
恒成立．
当a＝0或1－2a＝0时，上述不等式组不会恒成立，
∴即
∴a＝.∴c＝－a＝.
∴存在一组常数：a＝，b＝，c＝，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立．

图9
21．(12分)(2011·辽宁高考)如图9，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

图10
解：如图10，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
(1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．
所以·＝0，·＝0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQDC，
所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则
即
因此可取n＝(0，－1，－2)．
设m是平面PBQ的法向量，则

可取m＝(1,1,1)，
所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q－BP－C的余弦值为－.
22．(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得：a＋c＝3，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，
即3＋4k2－m2>0，则
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，
∴kAD·kBD＝－1，即·＝－1.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16mk＋4k2＝0.
解得m1＝－2k，m2＝－，且均满足3＋4k2－m2>0.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－k时，l的方程为y＝k(x－)，
直线过定点(，0)．
∴直线l过定点，定点坐标为(，0)．

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