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本章综合测试
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，总分值120分，考试时间100分钟．
第一卷(选择题，共40分)
一、选择题(此题共10小题，每题4分，共40分．)
1．用反证法证明命题“如果a>b，那么>〞时，假设的内容应是( )
A.＝ B.<
C.＝，且< D.＝，或<
答案：D
2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电；所以一切金属都导电〞．此推理方法是( )
A．完全归纳推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
解析：由特殊到一般的推理．
答案：B
3．假设x，y>0且x＋4y＝4，令z＝xy，那么( )
A．z的最小值为1 B．z的最大值为1
C．z的最小值为 D．z的最大值为
答案：B
4．假设方程mx2－mx＋1＝0没有实根，那么m的取值范围是( )
A．(0,4) B．(0,4]
C．[0,4) D．[0,4]
答案：C
5．观察以下各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，那么72 011的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
解析：75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，
78＝5 764 801，…
结合题中所给信息可以发现7n的末两位数n∈Z时呈周期性变化，周期T＝4
∵2 011＝502×4＋3
∴72 011与73末两位数相同均为43.
答案：B
6．n个连续自然数按规律排成下表
根据规律，从2022到2022，箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 002到2 004为↑→，应选C.
答案：C
7．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜测an等于( )
A. B.
C. D.
解析：利用Sn＝n2·an(n≥2)且a1＝1，
求得a2＝，a3＝，a4＝，
代入A、B、C、D四选项，排除A、C、D，选B.
答案：B
8．观察以下事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，那么|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )
A．76 B．80
C．86 D．92
解析：由|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80. 应选B.
答案：B
9．直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出以下四个命题：
(1)假设α∥β，那么l⊥m；(2)假设l⊥m，那么α∥β；
(3)假设α⊥β，那么l∥m；(4)假设l∥m，那么α⊥β；
其中正确命题是( )
A．(1)(2) B．(3)(4)
C．(1)(4) D．(2)(3)
答案：C
10．将正整数排成下表
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
其中第i行，第j列记为A，那么数表中的2 008应记为( )
A．A B．A
C．A D．A
答案：D
第二卷(非选择题，共80分)
二、填空题(此题共4小题，每题4分，共16分．)
11．观察以下等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
解析：依据题目特征，不难发现：每个等式左边各加数的底数之和，恰好为右边的底数，注意到，左边数的指数均是3，右边数的指数均是2，从而，第五个等式应为
13＋23＋33＋43＋53＋63
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2
＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
12．假设{bn}是等比数列，m，n，p是互不相等的正整数，那么有正确的结论：()m·()n·()p＝1.类比上述性质，相应地，假设{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，那么有正确的结论：________.
解析：由题中等式知，左边＝(qp－n)m·(qm－p)n·(qn－m)p＝qmp－mn·qmn－pn·qnp－mp＝q0＝1，类似可构造：m(ap－an)＋n(am－ap)＋p(an－am)＝m(p－n)d＋n(m－p)d＋p(n－m)d＝0.
答案：m(ap－an)＋n(am－ap)＋p(an－am)＝0
13．把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以构成正三角形(如图1)，在这样的三角形数列中，第7个三角形点数为__________，第n个为__________．
图1
答案：28
14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如图2)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：
图2
a1b2＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝a1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋Ln－1(bn－1－bn)＋Lnbn，
那么其中：L3＝________；Ln＝________.
解析：(1)由图(b)知，L2＝a1＋a2，L3＝a1＋a2＋a3，…，所以Ln＝a1＋a2＋…＋an.
答案：a1＋a2＋a3 a1＋a2＋a3＋…＋an.
三、解答题(此题共6小题，共64分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15．(8分)a，b，c为不全相等的实数，求证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
证明：∵a，b，c∈R
∴a2＋b2≥2ab
b2＋c2≥2bc
a2＋c2≥2ac
∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac
当且仅当a＝b＝c时，取“＝〞
∵a，b，c不全相等，∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
16．(8分)在△ABC中，三内角A，B，C对应边分别为a，b，c且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列得A＋C＝2B，又由于A＋B＋C＝π，得B＝，由a，b，c成等比数列得b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，从而知a＝c，又B＝，
∴△ABC为等边三角形．
17．(10分)观察数表
求：(1)这个表的第i行里的最后一个数字是多少？
(2)假设第i行各数之和为M，前i＋1行的数的个数为N，证明：当i>2时，M>N.
解：(1)第i行的第1个数为i，共有2i－1个数，设这些数从左到右构成数列{an}，那么a1＝i，d＝1，
所以a2i－1＝a1＋[(2i－1)－1]d＝3i－2.
(2)由(1)知第i行各数之和为
M＝＝(i＋1)2.
N＝1＋3＋5＋…＋(2i＋1)
＝
＝(i＋1)2.
∵M－N＝(2i－1)2－(i＋1)2＝3i(i－2)．
又∵i>2
∴M－N>0.
∴M>N
18．(12分)函数f(x)＝ax＋(a>1)
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负实数根．
证明：(1)任取－1<x1<x2，那么
19．(12分)对于直线l：y＝kx＋1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由．
解：(反证法)假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)那么
由
⇒(3－k2)x2－2kx－2＝0④
由②③有a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2⑤
由④知x1＋x2＝代入⑤整理得：
ak＝3与①矛盾．
故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
20．(14分)对于给定的正整数k，假设数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan对任意正整数n(n>k)总成立，那么称数列{an}是“P(k)数列〞．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列〞；
(2)假设数列{an}既是“P(2)数列〞，又是“P(3)数列〞，证明：{an}是等差数列．
证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
那么an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，
an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d
＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，
所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，
因此等差数列{an}是“P(3)数列〞．
(2)数列{an}既是“P(2)数列〞，又是“P(3)数列〞，因此，
当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①
当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3
＝6an.②
由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③
an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④
将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.
在①中，取n＝4，那么a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，
所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，那么a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，
所以a1＝a3－2d′，
所以数列{an}是等差数列．
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