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(完整word)正切函数的图像和性质讲义和习题
正切函数的图像与性质
【知识框架】
正切函数
正切函数的性质
正切函数的图像

1. 正切函数图像画法：三点两线法
2、正切函数图像与性质

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

对称中心

【典型例题】
例1. 求的定义域。

例2. 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

例3. 不求值比较下列各组数的大小：
(1）和 （2）和

例4. 判断下列函数的奇偶性：
（1) （2）

例5. 画出函数的图像。并指出定义域、值域、最小正周期和单调增区间。

例6. 若函数的最小正周期满足，则正整数的值是______________ 。
例7. 已知，求函数的最值。

例8. 若时，的值总不大于零，求实数k的取值范围。

例9. 函数的值域。

例10. 在区间的范围内，函数与函数的图象的个数是（　　　　）
A.1 B。2 C。 3 D.4
【巩固练习】
一、选择题
1.函数y=tan （2x+)的周期是 ( ）
(A) π （B）2π (C) (D）
2.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系是 （ )
(A） a<b<c （B) c<b<a （C) b〈c<a （D) b〈a<c
3.在下列函数中，同时满足(1)在(0,)上递增；(2）以2π为周期；(3）是奇函数的是 ( )
(A） y=｜tanx| (B) y=cosx (C) y=tanx (D) y=－tanx
4.函数y=lgtan的定义域是 （ )
(A）｛x｜kπ〈x〈kπ+，k∈Z｝ （B) {x｜4kπ<x<4kπ+,k∈Z｝
(C) ｛x|2kπ<x〈2kπ+π，k∈Z} （D)第一、三象限
5。已知函数y=tanωx在（-,)内是单调减函数，则ω的取值范围是 （ ）
(A）0<ω≤ 1 （B) —1≤ω〈0 （C） ω≥1 (D) ω≤ —1
*6。如果α、β∈(，π)且tanα<tanβ,那么必有 （ ）
(A） α〈β （B） α〉β （C） α+β〉 (D） α+β<
二。填空题
7.函数y=2tan(—）的定义域是 ，周期是 ；
8。函数y=tan2x—2tanx+3的最小值是 ；
9.函数y=tan(+）的递增区间是 ;
＊10。下列关于函数y=tan2x的叙述：①直线y=a(a∈R）与曲线相邻两支交于A、B两点,则线段AB长为π；②直线x=kπ+,(k∈Z）都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是（，0），（k∈Z），正确的命题序号为 .

三. 解答题
11。不通过求值，比较下列各式的大小
(1)tan（-）与tan(-) （2）tan()与tan （）

12。求函数y=的值域.

13。求下列函数的周期和单调区间

*14。已知α、β∈(，π)，且tan(π+α)<tan(-β),求证： α+β<。

【提高检测】
一、选择题
1．函数 的最小正周期是（      ）
　　A．　　B．　　C．　　D．
2．函数 的定义域是（      ）
　　A．　　　　　 　 B．
　　C． 　 D．
3．函数 的值域是（      ）
A．　　B．　　C．　　D．
4．下列函数中，同时满足①在 上是增函数；②为奇函数；③以 为最小正周期的函数是(      ）
　　A．　　B．　　C．　　D．
5．已知函数 ，下列判断正确的个数是（      ）
　　① 是定义域上的减函数,周期为 ．
　　② 是区间 上的减函数,周期为 ．
　　③ 是区间 上的减函数,周期为 ．
　　④ 是区间 上的减函数，周期为 ．
　　A．0　　B．1　　C．2　　D．3
6．函数 的图像对称于（      ）
　　A．原点　　B． 轴　　C． 轴　　D．直线
7．要得到 的图像，只需把 的图像（      )
　　A．向左平移个单位　　B．向左平移个单位
　　C．向右平移个单位　　D．向右平移个单位
8．函数 的一个对称中心是（      ）
　　A．　　B．　　C．　　D．
9．函数 的图像相邻的两支截直线 所得线段长为 ，则 的值是（      )
　　A．　　B．0　　C．1　　D．－1
10．在区间 范围内，函数 与函数 的图像交点的个数为（      ）
　　A．1　　B．2　　C．3　　D．4

11．要得到函数 的图像，须将函数 的图像(      ）
　　A．向右平移 个单位　　B．向左平移 个单位
　　C．向右平移 个单位　　D．向左平移 个单位
12．函数 在一个周期内的图像是（       ）

二、填空题
　　13．函数 的最小正周期是____________．
　　14．函数 的定义域是_________．
　　15．函数 的值域是__________．
　　16．已知函数 是以3为周期的奇函数,且 ．若 ，则 ．

三、解答题
17．试求函数 的定义域，并作出区间 上的图像．

18．已知 ．求函数 的值域．

19．求函数 的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调性．

　　20．求证:函数 （ 、 ）为奇函数的充要条件是 ．
提高检测参考答案：
一、选择题
　　1．B　　2．D　　3．B　　4．A　　5．A　　6．B
　　7．C　　8．C　　9．B　　10．C　　11．C　　12．A
二、填空题
　　13．　　14．
　　15．　　 16．－1
三、解答题
　　17．由 得函数的定义域为 ．
　　 又当 时，

　　其图像如图所示．

　　18．由已知条件得 ，
　　解得 ，
　　∴ ( ），
　　∴ （ ），
　　∴ ,
　　于是 ．
　　∴当 （ )时 取最小值4,当 （ )时 取最大值5．从而函数的值域为［4，5］．
　　19．由 ,得 ( ），
　　∴所求的函数定义域为： ；值域为 ；周期为 ;
　　它既不是奇函数，也不是偶函数；
　　在区间 （ )上是单调减函数．
　　20．充分性：
　　∵ ，
　　∴ 为奇函数，
　　必要性：∵ 是奇函数．
　　∴ ，
　　∴ ,
　　∴ ，
　　∴
　　 ，
　　∴ ,
　　∴ ，∴ ，
　　∴ ( ）．

巩固练习参考答案
一、CCACBA。
二、7.（2kπ—,2kπ+）（k∈Z）, 2π； 8。 2； 9。( 2kπ， 2kπ) (k∈Z）; 10. ③.
三、11。（1）> （2) 〈
12. {y|y∈R且y≠1｝；
13。 T==2π； 由可得
∴可得函数y=的递减区间为[2kπ-π,2kπ+(k∈Z）
14.∵tan(π+α）〈tan（—β） ∴tanα<tan（π—β)，又∵<α〈π， 〈π-β〈π
∴α与π—β落在同一单调区间,∴α〈π—β，即α+β〈π

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