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线性方程组解的结构
我们在第一节讨论了线性方程组的解的情况，现在进一步研究它的解的结构.
一、 齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组的矩阵形式为　AX=0　　　（1）
其中,。
齐次线性方程组（1）的解有下列性质：
（1） 如果是齐次线性方程组（1)的两个解，则也是它的解。
证：因为是齐次线性方程组(1）的两个解，因此有:
　 ,
得:
所以也是齐次线性方程组（1）的解.
(2) 如果是齐次线性方程组（1）的解，则也是它的解.（是常数）
证：已知是齐次线性方程组（1）的解，所以有
从而
即也是齐次线性方程组(1)的解。
由性质(1）,(2）可得：
(3）如果都是齐次线性方程组(1）的解，则其线性组合也是它的解。其中都是任意常数。
当一个齐次线性方程组有非零解，即它有无穷多解，这无穷多解构成了一个向量组（称为解向量组)。若我们能求出这解向量组的一个极大线性无关组,那么就能用它的线性组合表示这个齐次线性方程组的全部解。
定义1：如果是齐次线性方程组(1）的解向量组的一个极大线性无关组，则称是齐次线性方程组(1）的一个基础解系。
定理1：如果齐次线性方程组（1)的系数矩阵A的秩,则齐次线性方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中恰恰含有个解.
证：因为，所以齐次线性方程组有无穷多解,且齐次线性方程组的一般解为：
　　　　（1）
其中为自由未知量。对n—r个自由未知量分别取
代入(1)可得齐次线性方程组的n-r个解：

下面证明是齐次线性方程组的一个基础解系，首先证明线性无关。因为向量组是线性无关，则由上节所证明的性质得线性无关.
再证齐次线性方程组的任意一个解都可由线性表示。
因为是齐次线性方程组的解,所以满足（1）式:

从而　　

即是的线性组合,所以是齐次线性方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解为：

式中为任意常数。
例1：求齐次线性方程组的一个基础解系,并用此基础解系表示它的全部解。
解：

因为,所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解
对自由未知量分别取=，代入上式得到齐次线性方程组的一个基础解系为：
则齐次线性方程组的全部解为：
　　　（为任意常数）
例2:求齐次线性方程组的一个基础解系。
解：
因为，所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解
取自由未知量=1，代入上式得齐次线性方程组的一个基础解系为：
例3:求齐次线性方程组的一个基础解系。
解：
因为，所以齐次线性方程组有无穷多解.取自由未知量为，原方程组与方程组同解
对自由未知量为分别取和，代入上式得到方程组的一个基础解系为：和
二、 非齐次线性方程组解的结构：
非齐次线性方程组可表示为AX=b,称齐次线性方程组AX=0为非齐次线性方程组AX=b的导出组。
下面讨论非齐次线性方程组的解和它的导出组解之间关系。
(1) 如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。
证:由已知得
所以有
即是非齐次线性方程组的解。
（2)如果是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则是其导出组AX=0的解。
证：由得：
即是其导出组AX=0的解.
定理2：如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组的全部解。
由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：

其中是非齐次线性方程组的一个特解,是导出组的一个基础解系。
例4：求非齐次线性方程组的解，用其导出组的基础解系表示其全部解。
解:
因为,所以非齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为，原方程组与方程组同解
取自由未知量，代入上式得非齐次方程组的一个特解为:
再求其导出组的基础解系，其导出组与方程组同解
对自由未知量为分别取,代入上式得到其导出组的一个基础解系为:
则原方程组的全部解为：
　 　　（为任意常数)
例5：求非齐次线性方程组的解，用其导出组的基础解系表示其全部解。
解：

因为,所以非齐次线性方程组有无穷多组解,取自由未知量为，原方程组与方程组同解
取自由未知量为，得原方程组的一个特解:
再求其导出组的基础解系,其导出组与方程组同解
对自由未知量分别取，代入上式得到其导出组的一个基础解系为：
则原方程组的全部解为：
练习：求解非齐次线性方程组：
解：

因为，所以方程组有无穷多组解，取为自由未知量.得特解:和基础解系：。
即得方程组的全部解为:。
例6:已知是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系,证明
也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系.
证:由已知可得：齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知都是AX＝0的解;因此只要证明线性无关即可.
设存在数使

成立。整理得:
　　（1）
已知是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，即得线性无关,则由(1）得,解得:
所以线性无关。即也是齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系.
例7：设矩阵A＝。证：AB＝0的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。
证：把矩阵B按列分块：，其中是矩阵B的第i列向量，零矩阵也按列分块
则
必要性：AB＝0可得：
，即是齐次方程组AX=0的解。
充分性：矩阵B的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解，即有

得：，即证。
例8：设是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且矩阵A的秩为3,，求AX＝b的通解。
解：因为A的秩为3，则AX＝0的基础解系含有4－3＝1个解向量。
由线性方程组解的性质得：是AX＝0的解，
则解得AX＝0的一个非零解为:.
由此可得AX＝b的通解为：.