7[1].5.10二次函数与三角形综合.讲义学生版.pdf

7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 1 of 11中考要求中考要求考试要求考试要求板块板块A 级要求B 级要求C 级要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；知识点睛知识点睛一、二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：EDCBAFEDABCDFEDCBAh45DCBA1.如图，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴xy平行的三角形，分别求出面积后相加1122ABCACDADBCBACECEBABSSSADyySSCExx其中,两点坐标可以通过或的直线方程以及或点坐标得到DEBCABAC2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积.ABCDEBFDACAEBCBFSSSSS所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用111222ABCADEBCFEBADFCABABBCBcCACASSSSxxyyxxyyxxyy 4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用，如果三角形的一条边与平行，则可以快速求解0 xy12ABCSh BC二次函数二次函数7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 2 of 11例题精讲例题精讲一、二次函数与三角形综合【例 1】已知二次函数的图象经过点并且与轴相交于点和点，顶212yxbxc(36)A ，x(10)B ，C点为P（1）求二次函数的解析式；（2）设为线段上一点，满足，求点的坐标DOCDPCBAC DBDCPOAyx【巩固】如图，已知平面直角坐标系中三点，连结，过点作(20)(02)(0)ABP x，(0)x BPP交过点的直线于点PCPBAa(2)Cy，（1）求与之间的函数关系式；yx（2）当取最大整数时，求与的交点的坐标。xBCQCPaQOBAyx7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 3 of 11【例 2】已知二次函数的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线 22(2)4ymxmxn2x 上112yx 求此二次函数的解析式；若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线上移动到点时，图象与轴恰112yxMx好交于、两点，且，求这时的二次函数的解析式AB8ABMSlMBAyxO 【巩固】已知一元二次方程的一根为210 xpxq 2（1）求关于的解析式；qp（2）求证：抛物线与轴有两个交点；2yxpxqx（3）设抛物线的顶点为，且与轴相交于两点，求使2yxpxqMx1200A xB x、面积最小时的抛物线的解析式AMB7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 4 of 11【例 3】如图，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”，中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高”我ABC aABCABC h们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积12ABCSah的一半.垂 垂 垂垂 垂 垂haCB解答下列问题：如图 12-2，抛物线顶点坐标为点,交轴于点，交轴于点.1 4C，x3 0A，yB（1）求抛物线和直线的解析式；AB（2）点是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结，当点运动到顶点时，求PPAPBPC的铅垂高及；CBACDCABS（3）是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.P98PABCABSSP13yxCOAB【巩固】已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过mn、2650 xxmn2yxbxc 点 、,0A m0,Bn 求这个抛物线的解析式；设中抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点、的坐标和xCDCD的面积；BCD 是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成POCPPHxHBCPCH面积之比为的两部分，请求出点的坐标2:3P7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 5 of 11DyxOCBA【例 4】一开口向上抛物线与 x 轴交于 A（，0），B（m2，0）两点，记抛物线顶点为，且2m CACBC（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若 m 为小于 0 的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由【例 5】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点 C（-1，0），如图所示，抛物线经过点 B22yaxax（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由xyOBC(-1,0)A(0,2)7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 6 of 11【巩固】已知抛物线与轴相交于点，且是方程22yaxbxx1(0)A x，2(0)B x，12()xx12xx，的两个实数根，点为抛物线与轴的交点2230 xxCy（1）求的值；ab，（2）分别求出直线和的解析式；ACBC（3）若动直线与线段分别相交于两点，则在轴上是否存在点(02)ymmACBC，DE，x，P使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由DEPPO-2-13214321xy【例 6】如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，在轴上，(01)A，CDEFCF，DE，x交轴于点，且其面积为 CFy(02)B，8 求此抛物线的解析式；如图 2，若P点为抛物线上不同于的一点，连结并延长交抛物线于点，过点分APBQPQ，别作轴的垂线，垂足分别为xSR，求证：；PBPS判断的形状；SBR试探索在线段上是否存在点，使得以点为顶点的三角形和以点SRMPSM，为顶点的三角形相似，若存在，请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理由QRM，7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 7 of 11yxOFEDCBAyxORQPSBA【巩固】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点21yxxAByC 求、三点的坐标ABC 过点作交抛物线于点，求四边形的面积AAPCBPACBP 在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，xMMMGxG使以、三点为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标；否则，请说AMGPCAM明理由xyOPCBA【例 7】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且2122yxbxxA B，yC1 0A ，（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；）D（2）判断的形状，证明你的结论；ABC（3）点是 x 轴上的一个动点，当的值最小时，求 m 的值(0)M m，MCMD11-1BDCAOxy7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 8 of 11【巩固】如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转A20，OAOAO，得到线段120OB 求点的坐标；B 求经过、三点的抛物线的解析式；AOB 在中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；CBOCC若不存在，请说明理由 如果点是中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么是否有最大面积？若有，PxPAB求出此时点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由PPABBOAxy课后作业课后作业1.二次函数的图象如图所示，过轴上一点，的直线与抛物线交于，两点，218yxy(0M2)AB过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，AByCD7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 9 of 11 当点的横坐标为时，求点的坐标；A2B 在的情况下，分别过点，作轴于，轴于，在上是否存在点，ABAExEBFxFEFP使为直角若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；APBP 当点在抛物线上运动时(点与点不重合)，求的值AAOAC BDyxOMDCBA2.如图所示，抛物线的顶点为 A，其中2()yxm 0m（1）已知直线：，将直线 沿轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用l3yxlx含的代数式）后过点 A；m（2）设直线 平移后与轴的交点为 B，若动点 Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线ly上是否存在点 P，使以 P、Q、A 为顶点的三角形与相似，且相似比为 2？若存在，OAB求出的值，并写出所有符合上述条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由m3.如图，抛物线经过三点(4 0)(10)(02)ABC，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为PMx顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明OAC理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得的面积最大，求出点 D 的坐标DCA7.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 10 of 11C-241yxABO4.如图，抛物线cbxxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.CyxABO5.如图，已知抛物线与轴交于点、，交轴负半轴于点，点在点的右2yxpxqxAByCBA侧，90ACB112OAOBOC(1)求抛物线的解析式；(2)求的外接圆的面积；ABC(3)在抛物线上是否存在点，使得的面积为 如果有，这样的点有2yxpxqPPAB2 27.5.10 二次函数与三角形综合讲义学生版Page 11 of 11几个；如果没有，请说明理由yxOBCA