勾股定理专题复习(经典一对一优秀教案哟).doc

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学生姓名

授课时间：
授课科目：数学
教学课题
勾股定理知识点解析（二）
重点、难点
能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。
教师姓名

年级： 初二
课型:复习课
一、作业检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
二、课前回顾
对上次家庭作业进行检查并评讲
三、知识整理
知识点1.勾股定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2）
注意：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 + c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 + c2
例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长；
A
C
B
图1
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长
（3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值

C
B
A
图2

知识点2.勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。
思路：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：方法一：，，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为 所以
知识点3.直角三角形的判别条件
（1）如果三角形的三边长啊a，b，c，满足a2+b2＝c2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）
注意：在判别一个三角式是不是直角三角形时，a2+b2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a2+b2＝c2。验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形.
例1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ）

例2.在△ABC中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n,试判断△ABC是不是直角三角形。
知识点4.勾股数
满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有：3,4,56,8,108,15,177,24,255,12,139,12,159,40,41
例1．判断下列各组数是不是勾股数
（1）3,4,7 （2）5,12,13 （3）1/3,1/4,1/5 (4)3,-4,5
四、典型例题
题型一、应用勾股定理建立方程
【例 １】如图，△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．　

【变式1】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【变式2】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

题型二、勾股定理在折叠问题中的应用
例1.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

【变式1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

【变式2】在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．求DE的长；

【变式3】如图，矩形纸片ABCD的边AB＝10 cm，BC＝6 cm，E为BC上的一点．将矩形纸片沿着AE折叠，点B恰好落在边DC的点G处，求BE的长

【变式4】在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°，
（1）BE的长为________，QF的长为_______；
（2）四边形PEFH的面积为_______。

题型三、确定几何体上的最短路线
例1、 如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为________米

【变式1】一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

【变式2】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km， C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？

题型四、勾股定理及逆命题有关的几何证明
例1、在四边形ABCD中，∠C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD⊥BD

【变式1】CD是△ABC中AB边上的高，且CD2=AD×DB，试说明∠ACB=90

【变式2】△ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断△ABC的形状
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c；
（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0
【变式3】如图△ABC中，∠ BAC=90,AB=AC,ÐP为BC上任意一点，求证：BP2+CP2=AP2
= +
题型五、勾股定理与旋转
例1、在等腰△RtABC中，∠ CAB=90，P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=
求：∠ CPA的大小？

【变式1】如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。求证：DE2=AD2+BE2。

【变式2】已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC

五、对应训练
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）.
（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，32 （D）9，40，41
2. 如图1，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=5：3，则AC= （ ）.
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

3. 已知：如图2，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 （ ）.
（A）9 （B）3 （C） （D）
4. 如图3，在△ABC中，AD⊥BC与D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为（ ）.
（A）11 （B）10 （C）9 （D）8
5. 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式，则此三角形是（ ）.
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形
6. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 （ ）.
（A）6秒 （B）5秒 （C）4秒 （D）3秒
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数）
12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为 .
（2）斜边x= .

13. 如图7，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．
14. 四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形.
15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 ．
三、简答题
18.（8分）如图11，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）
21.如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
六、课堂小结
谈谈你这节课的收获和还有疑惑的地方。
七、作业
1、折叠矩形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点D折叠，使点A落在BD的E处，折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长.
2、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于

A
C
D
B
E
16题

3、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．

4、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）．
A．3 B．4 C． D．5
5、如图5所示，一条清水河的同旁有两个村庄A和B.到河岸l的距离分别为3千米和5千米，两个村的水平距离CD＝6千米．问：要在河边修一个水泵站向两个村供水．需要的水管最少应为多少千米？

6、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

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