资源描述
随机抽样
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，从元素个数为N的总体中__________地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：____________和________________．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体________；
(2)确定____________，对编号进行________，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
(3)在第1段用________________确定第一个个体编号l (l≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号____________，再加k得到第3个个体编号__________，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个______________的几部分，每一部分叫做______，在各层中按层在总体中所占比例进行____________抽样或________抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由________________________组成时，往往选用分层抽样．
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本的老年职工抽取人数为 ( )
A．9 B．18 C．27 D．36
3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )
A．50 B．60 C．70 D．80
4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中，正确的是 ( )
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
二、填空题
5．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
7．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是_________．
B组 专项能力提升题组
一、选择题
1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种类之和是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．用系统抽样法(按等距离的规则)，要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是 ( )
A．7 B．5 C．4 D．3
3．(1)某学校为了了解2011年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．
Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法．
问题与方法配对正确的是 ( )
A．(1)Ⅲ，(2)Ⅰ B．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ
C．(1)Ⅱ，(2)Ⅲ D．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ
4．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
二、填空题
5．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人．
6．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为 .若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取 人．
用样本估计总体
1．频率分布直方图
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用_______________________，另一种是用________________________________________________．
(2)在频率分布直方图中，纵轴表示________，数据落在各小组内的频率用___________表示，各小长方形的面积总和等于______．
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着__________的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出_______________________________________________________．
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以______________，而且__________________，方便________和________都带来方便．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)平均数
平均数：样本数据的算术平均数，即＝____________________________________.
(2)样本方差、标准差
标准差s＝ ，
其中xn是样本数据的第n项，n是________________，是__________．
__________是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的________．通常用样本方差估计总体方差，当________________________时，样本方差很接近总体方差．
(2)平均数、方差的公式推广
①若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
a．s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]；
b．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
c．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1 某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：
组别
频数
频率
145.5～149.5
8
0.16
149.5～153.5
6
0.12
153.5～157.5
14
0.28
157.5～161.5
10
0.20
161.5～165.5
8
0.16
165.5～169.5
m
n
合计
M
N
(1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值；
(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；
(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算两组数据的平均数；
(2)分别计算两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．
.统计图表中概念不清、识图不准致误
试题：(5分)如图所示是某公司(共有员工300人)2011年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有________人．
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1．如右图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ( )
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,4 D．85,1.6
2．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是 ( )
A．32 B．27 C．24 D．33
3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为 ( )
A．0.27,78 B．0.27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
二、填空题
4．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
5．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．
6．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90 km/h的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)
三、解答题
7．某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．
(1)求居民收入在[3 000,3 500)的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取多少人？
B组 专项能力提升题组
一、选择题
1．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是 ( )
A．甲>乙，且甲比乙成绩稳定
B．甲>乙，且乙比甲成绩稳定
C．甲<乙，且甲比乙成绩稳定
D．甲<乙，且乙比甲成绩稳定
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( )
A．90 B．75 C．60 D．45
3．一个样本a,3,5,7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.
5．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
6．已知总体的各个体的值依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且a＋b＝21，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________、________.
§1．1 任意角和弧度制
§1．1．1 任意角
【学习目标、细解考纲】
理解任意角、象限角的概念，并会用集合来表示终边相同的角。
【知识梳理、双基再现】
1、角可以看成平面内一条 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 ，它的 和
重合。这样，我们就把角的概念推广到了 ，包括 、 和 。
3、我们常在 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的 与
重合，角的 与 重合。那么，角的 落在第几象限，我们就说这个角是 。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角 。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个 ，
，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。
【小试身手、轻松过关】
5、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
6、－1120°角所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ）
A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
8、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．
【基础训练、锋芒初显】
9、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝ B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
11、下列结论正确的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、若是第四象限的角，则是 ．(89上海)
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
13、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
14、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
15、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．
16、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）； （2）．
17、下列说法中，正确的是（ ）
A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角
C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角
【举一反三、能力拓展】18、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1） （2） （3）
19、已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。
20、若α是第一象限角，求是第几象限角？
【名师小结、感悟反思】负角、象限角、轴上角、区域角等概念，注意区分。
§1．1．2 弧度制
【学习目标、细解考纲】
了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。
【知识梳理、双基再现】
1、角可以用 为单位进行度量，1度的角等于 。
叫做角度制。
角还可以用 为单位进行度量， 叫做1弧度的角，
用符号 表示，读作 。
2、正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。如果半径为r的圆心角所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
。
这里，α的正负由 决定。
3、180 °＝ rad
1°＝ rad≈ rad
1 rad＝ °≈ °
我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算。
4、角的概念推广后,在弧度制下, 与 之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即 )与它对应;反过来,每一个实数也都有 (即 )与它对应.
【小试身手、轻松过关】
5、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）
A．所对弧长相等 B．所对的弦长相等
C．所对弧长等于各自半径 D．所对弧长等于各自半径
6、时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－rad
7、角α的终边落在区间（－3π,－π）内,则角α所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8、半径为cm，中心角为120o的弧长为 （ ）
A． B． C． D．
【基础训练、锋芒初显】
9、将下列弧度转化为角度：
（1）= °；（2）－= ° ′；（3）= °；
10、将下列角度转化为弧度：
（1）36°= rad；（2）－105°= rad；（3）37°30′= rad；
11、已知集合M =｛x∣x = , ∈Z｝，N =｛x∣x = , k∈Z｝，则 （ ）
A．集合M是集合N的真子集 B．集合N是集合M的真子集
C．M = N D．集合M与集合N之间没有包含关系
12、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
13、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．
【举一反三、能力拓展】
14、已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？
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