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第八章 微分方程初步
学习目的和要求
学习本章,要求读者了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程和常系数二阶微分方程的求解方法，并了解运用微分方程分析经济问题．
第一节 微分方程的一般概念
1．微分方程
含有未知函数的导数（或微分)的方程叫做微分方程．
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数．若微分方程中只含有一阶导数，则称为一阶微分方程．
2．微分方程的解
亦即找出这样的函数，将其代人微分方程能使该方程成为恒等式,这个函数就叫做该微分方程的解．
微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
利用附加条件确定了通解中的任意常数,便可得到微分方程满足该条件的特解,这种附加条件称为微分方程的定解条件。
第二节 一阶微分方程
1．可分离变量的一阶微分方程
若微分方程经过适当变换，可使变量分离，此时可在方程两端分别对所含变量进行积分，就可求得微分方程的通解，即

化为

例如： .
所以

即

将初始值代人得 ，得特解为
2．一阶线性微分方程
微分方程 称为一阶线性微分方程。若 则为齐次方程，否则，称为非齐次方程．
（1）齐次方程 的解：

(2)非齐次方程 的解：

3．可降阶的高阶微分方程
(1)方程 其右端不显含未知函数 则原方程化为一阶方程 从而可得

（2)方程 其右端不显含自变量x, 则由于

可将原方程化为

解该一阶方程,设其通解为 则原方程的解为

第三节 常系数二阶线性微分方程  
1．常系数二阶线性齐次方程

定理1 若 是常系数二阶线性齐次方程的两个特解，且 不等于常数，则 为其通解， 为任意常数．
求常系数二阶线性齐次方程的特解可通过求解其相应的特征方程的根而求得，其结果见表1．
2．常系数二阶线性非齐次方程

定理2 若 是非齐次方程的一个特解，而 是相应的齐次方程的通解，则其和式 为非齐次方程的通解．
对一些特殊的右端项，其特解形式如表2所示．

第四节 微分方程在经济学中的某些应用
1． 增长律
设 为现时值(如销售额）， 为饱和水平,若增长速度与 成正比，与 成正比，则

解之可得

这里 为任意常数，此曲线称为逻辑曲线 .
2．市场价格动态学
设某商品的供求函数如下:

又设任意时刻价格变化率与该时刻的超额需求 成正比，故满足一阶方程：

为调节系数．代人得

即 解得

其中，
第八章 微分方程初步
例1．微分方程 的阶是 （ )
A。1 B。2 C.3 D。4
解：由于微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，这里最高是y"因此，所给方程是二阶微分方程，故应选（B)
例2．方程 满足初始条件 的特解是 ( )
A。 B. C. D.
解：四个选择支中,满足 的是（A)(B）和（C)，因此可将(D）排除在外。对（A） 代入原方程，等号不成立，对（B) 代入原方程,等号成立，即 是原方程满足 的特解.
故应选(B）
例3．已知微分方程 。
（1)验证 （C为任意常数）是该方程的通解;
（2）求出方程满足初始条件 的特解。
解：（1）由于 ，所以 ，将两式代入原方程，得
，两端恒等,根据微分方程解的定义知 为原方程的解。又由于原方程是一阶微分方程， 中含有一个任意常数C，故 是原方程的通解.
（2）将 代入通解，得C=2，因而 是原方程满足初始条件 的特解.
例4．求 满足初始条件y(0）=0的特解.
解：易见,所给方程为可分离变量的方程，分离变量后得 两端积分得

记 ,注意到 也是方程的解，令C为任意常数，则所给方程的通解为
。
由初始条件y（0）=0，代入通解中得C=1，于是所求特解为 。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的ln|y+1|写成ln（y+1)，只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数 写为lnC，最终C是任意常数.
例5．求微分方程 的通解.
解:原方程可改写成 它是一个齐次方程.
令 即y=xu，从而 代入原方程得 整理得可分离变量的方程 两端积分，得ln（u+5）=lnx+lnc，即u+5=Cx，以 代入，即得 为原方程的通解。
注意 对于齐次方程，我们是用变量代换 将其变换为可分离变量的方程然后求解的.
例6．求微分方程 的通解。
解法1：将原方程变形，得 为一阶线性非齐次方程，用公式法求解。此处 有

为所求通解。
解法2:用常数变易法,方程 相应的一阶线性齐次方程为
分离变量得
两边积分
一阶线性齐次方程通解为
用常数变易法，把C改成
设原一阶线性非齐次方程的解为
那么 代入原方程

积分u（x）=-cosx+c。
因此,一阶线性非齐次方程的通解为 .
解法3：将原方程变形为
也就是
即有xy=—cosx+C，
所以，原方程的通解为 。
注意:这里给出了三种解法,建议考生熟练掌握第一种解法，比较简洁,操作性强。
例7．求微分方程 满足初始条件 的特解。
解：将原方程变形为 是一阶线性非齐方程, ,用公式法，

因此
这是一阶线性非齐方程的通解。
将 代入,得c=1-e，故所求特解为
注意，这里用直接代公式的方法解方程，有兴趣的考生可以参照上例，用其他两种方法求解。
例8．求微分方程 满足 的特解。
解：将原方程变形为 它是一个右端不显含x的可降阶方程。
令 代入原方程得 先分离变量再两端积分，得
。
将初始条件 代入上式，有 。
所以， ，结合条件 可得 ,先分离变量再积分，得
，
由 代入上式解得 。于是，原方程的特解为 。
注意：这是二阶微分方程的问题,为使计算简化,在解题过程中及时利用初始条件确定了任意常数 的值，考生在今后解题过程中也要注意应用这种方法。
例9．求下列二阶常系数微分方程的解。

解：(1）该方程的特征方程为 其特征根为 。
所以，该方程的通解为 。
（2）该方程的特征方程为 其特征根为 。
所以，该方程的通解为 。
(3）该方程的特征方程为 其特征根为 。
所以,该方程的通解为 。
（4）该方程的特征方程为 其特征根为一对共轭复根 。
所以，该方程的通解是 .
（5）该方程的特征方程为 有一对共轭复根 。
所以，该方程的通解为 。
例10．设有微分方程 ，试根据下列不同的f(x),设出其相应特解 的形式.

解：方程对应的齐次方程的特征方程为 其特征根为 。
（1）由于λ=2是特征方程的单根，n=1,故应设特解为

（2）由于λ=1也是特征方程的单根，n=3，故应设特解为

（3）由于λ=3不是特征方程的根，n=3，故应设特解为

（4）由于λ=0不是特征方程的根，n=2，故应设特解为

例11．设有微分方程 ，试根据下列不同的f（x)，设出其相应特解 的形式.

解：方程对应的齐次方程的特征方程为 有两个相同的实根 。
（1）由于λ=3也是特征方程的重根,n=1，故应设特解为

而由于λ=2、5、0均不是特征方程的根,类似于上例，应设特解为

例12．设有微分方程 ，试根据下列不同的f(x），设出其相应特解 的形式.

解：与非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为
该方程有一对共轭复根 。
（1）由于λ=1不是特征方程的根,n=0，故应设特解为

（2）由于λ=2i不是特征方程的根，n=0，故应设特解为

（3）由于λ=2+3i是特征方程的单根，n=0，故应设特解为

（4)由于λ=1+3i不是特征方程的根，n=1，故应设特解为
。
第八章 微分方程初步
单元测试
一、选择题
1、微分方程 的阶数是 （ ）
A、3 B、5 C、2 D、4
2、下列函数中为微分方程 xdx+ydy=0 通解的是 ( ）
A、x+y=c B、 C、cx+y=0 D、
3、按照微分方程通解定义， 的通解是 ( ）
A、 B、 C、 D、
      (其中 C1 ， C2 是任意常数）
4、微分方程 的通解是 ( ）
A、 B、
C、 D、
5、下列微分方程中可分离变量的是 （ )
A、 B、 C、 D、
6、微分方程 满足初始条件y（0)=1的特解为 （ )
A、 B、 C、 D、
7、在下列函数中，哪个是微分方程 的解 （）
A、 B、 C、 D、
8、微分方程 满足 的特解是 （ )
A、 B、 C、 D、
9、微分方程2ydy-dx=0的通解为 ( ）
A、 B、 C、 D、
10、方程 的通解为y= ( ）
A、 B、c+x C、 D、cx
11、微分方程cosydy=sinxdx的通解是 （ )
A、sinx+cosy=c B、cosx+siny=c C、cosx—siny=c D、cosy—sinx=c
12、微分方程 的通解是（ )
A、arctanx+arctany=c B、tanx+tany=c C、lnx+lny=c D、cotx+coty=c
13、方程 的通解是 ( ）
A、 B、 C、 D、
14、微分方程 的通解为 (）
A、 B、 C、 D、
15、微分方程 的通解是 （ )
A、 B、
C、 D、
二、计算题(一）
1、求微分方程 的通解。
解:将微分方程分离变量得
两端积分得
故通解为 (C为任意常数）
2、求微分方程 满足初始条件 的特解。
解：将原方程写为 ，
，即
两端积分得
故通解为
由条件 ，得C=2
故所求特解为 .
3、求微分方程 满足条件 的特解。
解：分离变量得
两端积分
即
以 代入求得 C=
于是所求特解为
4、求解微分方程
解:原方程即
通解

=
5、 求微分方程 的通解
解: 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，
得
=
=
= （c为任意常数）