资源描述
<p>分式方程
一、课题：分式方程复习课
二、教学目标：
复习目标：
1. 理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因；
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程；
3.了解一下可化为一元二次方程的分式方程的解法；
4.会列出分式方程解决简单的实际问题（能够根据具体问题中的数量关系，针对用可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题的问题．）；
5.能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。
《考纲》要求目标：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法（方程中分式不超过两个），会列分式方程解应用题。）（C）
学习重难点：
分式方程转化为整式方程的过程，熟练掌握分式方程的解法并能顺利进行计算，从而确定方程的根是本节课的重点，分式方程的验根问题也是本节课的难点。
三、 教学过程
复习引入——打开记忆之门！
提出问题：你学过的方程种类有哪些？
让学生思考并回答，然后我小结归纳一下：像一元一次方程、一元二次方程这样的方程我们称它为整式方程，如果学生回答还有分式方程，紧接着提问什么样的方程是分式方程？（即分式方程的特征），若学生没想起来还有分式方程给出形如的方程并提问这是整式方程么？然后引出今天复习的课题分式方程，并让同学们观察分式方程跟整式方程的区别在哪？
【知识梳理】
1. 分式方程的概念及解法
(1)分式方程的概念：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。
(2)解分式方程的基本思想：转化
(3)解分式方程的一般步骤：
①去分母②解这个整式方程③检验④得出结论,写答句。（一化二解三检验四结论）
2. 分式方程的增根问题
（1） 增根的产生：①分式方程本身隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的范围扩大了了，如果转化后的整式方程的根恰好使原分式方程中分母的值为零，那么就产生了不适合原方程的根，即增根。②解出的根不符合实际生活情境的也为增根。
（2） 验根：因为解分式方程中有可能出现增根，所以解分式方程一定要验根。
3. 总结：列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
(2)设:选择恰当的未知数,注意单位.
(3)列:根据等量关系正确列出方程.
（4）解:认真仔细的解出方程.
（5）检：一检验，去增根；二检验，符合实际。
（6）答：写出答案。
【典型例题】
1. 分式方程的概念及解法
【例1】（1）
（设计思路：给出这样的例子，是为了帮助学生回忆起一元一次分式方程的一般解法）
【分析】按照解分式方程的一般步骤解出，即一化二解三检验四结论。
【解】
【点评】对于解简单的可化为一元一次方程的分式方程是必须掌握的，同学们，一定不要忘了验根哦！
【例2】 解方程
（了解一元二次分式方程的解法）
【分析】对于解一元二次的分式方程依然和解一元一次分式方程的步骤一样，依然坚持一化二解三检验四结论。
【解】原方程可化为，两边同乘以，并整理得经检验，x=1是原方程的根，x=2是增根，∴原方程的根x=1.
【点评】对于解一元二次分式方程的题型要求大家了解的，大家只要根据分式方程的一般解法也就能解出。
2.增根的问题
【例3】想一想
已知关于 x 的方程。
①如果此方程有增根，那么增根是 . .
②当m为何值时，此方程有增根？
【分析】当分式方程有增根意味着使得分式方程分母为0的根，即此时的x即为方程的增根；同时利用增根是由分式方程化成的整式方程的根，可将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
【解】①如果此方程有增根，即解出的根使得x-1=0，即x=1.
②去分母得，，由题意得x=1是的增根，把x=1代入
练习（学生练习）
①（牛刀小试）
（一元一次方程的解法）
解:去分母，方程两边同乘以x(x-1), 得3x=4(x-1)
解这个方程,得x=4
检验：将x=4代入原方程，得左边＝1＝右边，且分母不为0，
故x＝4是原方程的根
②议一议
解分式方程时，小明的解为x=2，他的解对吗？为什么？
（解释出现增根的原因，指出验根的重要性）
答：不对，x＝２不是原方程的根，因为它使得原方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是，我们在等号的两边同乘了一个可能使分母为零的整式．所以解分式方程必须检验．
③求一求
使分式方程产生增根，则参数m的值为多少？
（由增根确定参数值）
【解】原方程去分母得，化简整理得，分式方程的增根为x=3，代入得
解一解
解方程
【分析】此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。
【解】原方程变形为：
约分，得
方程两边都乘以
【拓展提升】
若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）
A. B.
C. D.
【分析】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D。
3. 分式方程的应用
【例4】 （2013安徽）某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍。已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍。
（1） 若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
（2） 若购买的两种球拍数一样，球x。
【分析】（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，根据购买羽毛球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍即可得出答案。
（2）根据购买的两种球拍数一样，列出方程，求出方程的解，再检验即可。
【解】（1）由题意知，总费用为4000+25x元。
（2）每副乒乓球拍的价格为x元，则每副羽毛球拍的价格为（x+20）元。
由题意得，，解得经检验：都是原方程的根，但x＞0，∴x=40，故每副乒乓球拍的价格为40元。
【例5】 已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?（由刚讲过的步骤师生共同完成例2）
【分析】设出未知数，利用等量关系列出分式方程。
【解】设江水每小时的流速是x千米，根据题意列方程，在方程两边同时乘以（20—x）（20+x）得72（20—x）=48（20+x），化简得120x=480,即x=4,经检验x=4为方程的根。
答：此时江水的流速为4千米/小时。
练习：练练手
①某人骑自行车比步行每小时多走8千米， 如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?
②甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
③ 甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇。已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
小结：
1、分式方程的验根方法通常两种：一是代入原方程检验，二是代入最简公分母检验，代入最简公分母检验的前提是解答的每一步是正确的，如果某一步出现错误，这种检验法将失去意义。
2、由增根求参数值的解答思路：
（1）将原方程化为整式方程（两边同时乘以最简公分母）
（2）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。（理由：增根是由分式方程化成的整式方程的根）
3、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂些，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，确定主要等量关系，用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。另外，还要注意从多角度思考，分析，解决问题，注意检验。
四、 中考链接
1.（2013•乐山）甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A、C两地间的距离为110千米，B、C两地间的距离为100千米。甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度。为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是（ ）
【考点】分式方程的应用
【分析】找准实际问题中的等量关系，根据甲乙两人到达C地所用时间相等来列分式方程。
2.（2013•郴州）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．
【考点】 分式方程的应用．
【分析】 先设小李所进乌梅的数量为xkg，根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
3.（2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．
【考点】 分式方程的应用．
【分析】 首先设骑自行车学生的速度是x千米/时，则汽车速度是2x千米/时，由题意可得等量关系；骑自行车学生行驶20千米所用时间﹣汽车行驶20千米所用时间=，根据等量关系，列出方程即可．
布置作业
一、 选择题
1.下列关于x的分式方程的个数有（ ）
A．2个 B.3个 C.4个 D.5个
2．分式的值为1时，m的值为（ ）
A．2 B.-2 C.3 D.-3
3.不解下列分式方程，判断哪个数是的解（ ）
Ａ．x＝１ Ｂ．x＝－１ Ｃ．x＝３ Ｄ．x＝－３
4. 若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B. -1 C. 2 D. -2
5.赵强同学借了一本书，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完，他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（ ）
A． B.
C . D.
二、计算题
6. 解下列分式方程：
（1）；
（2）
三、解答题
7.某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
8. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．
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