必修四平面向量基本定理(附答案).doc

(完整版)必修四平面向量基本定理(附答案)
　平面向量基本定理
［学习目标]　1。理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义。2。在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量。3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

知识点一　平面向量基本定理
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
（2）基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考　如图所示，e1，e2是两个不共线的向量,试用e1,e2表示向量，，，,，a.

答案　通过观察，可得:
＝2e1＋3e2,＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2，
＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2,a＝－2e1。
知识点二　两向量的夹角与垂直
（1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作＝a,＝b，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°），叫做向量a与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是［0°，180°］．
②当θ＝0°时，a与b同向．
③当θ＝180°时，a与b反向．
（2）垂直:如果a与b的夹角是90°,则称a与b垂直,记作a⊥b。
思考　在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角．
①、;②、；③、；④、。
答案　①与的夹角为60°；
②与的夹角为120°;
③与的夹角为60°；
④与的夹角为180°.

题型一　对向量的基底认识
例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ）有无穷多个;
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0。
答案　②③
解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．

跟踪训练1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量:①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2。其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．（写出所有满足条件的序号)
答案　①②④
解析　对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
＝－2（e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线,不能作为基底．
题型二　用基底表示向量
例2　如图所示，已知▱ABCD中,E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、。
解　∵四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
跟踪训练2　如图,已知△ABC中,D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a,＝b,用a、b表示、、.
解　＝＋＝＋
＝a＋（b－a）＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋（b－a）＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋（b－a)＝a＋b.

题型三　向量夹角问题
例3　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β。
解　如图，作＝a,＝b，且∠AOB＝60°，
以OA、OB为邻边作▱OACB，
则＝a＋b，＝－＝a－b，
＝＝a.
因为｜a｜＝|b|＝2,所以△OAB为正三角形，
所以∠OAB＝60°＝∠ABC，
即a－b与a的夹角β＝60°.
因为|a｜＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形,
所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°,
即a＋b与a的夹角α＝30°，
所以α＋β＝90°。

跟踪训练3　若a≠0,b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，求a与a＋b的夹角．
解　由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．
如图，∵｜a｜＝｜b｜＝|a－b|,
∴∠BOA＝60°。
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中,
对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角是30°.
题型四　平面向量基本定理的应用
例4　如图所示，在△OAB中,＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.
解　＝＋＝＋＝＋（－）＝a＋b，
因为与共线，故可设＝t＝a＋b.
又与共线，可设＝s,＝＋s
＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，
所以解得
所以＝a＋b.

跟踪训练4　如图所示，在△ABC中,点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a,＝b,试用基底a，b表示向量.
解　易得＝＝b，＝＝a,
由N，E，B三点共线，设存在实数m,满足＝m＋（1－m)＝mb＋(1－m）a.
由C，E,M三点共线，设存在实数n满足:＝n＋(1－n)＝na＋（1－n)b。
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，
由于a，b为基底，所以解得
所以＝a＋b.

向量夹角概念不清致误

例5　已知＝2a，＝2b，＝－a＋3b，求向量与的夹角．
错解　由已知得，＝－＝2a－2b，＝－＝(－a＋3b）－2b＝－a＋b,显然＝－2，可见与共线，故与的夹角为0°.
错因分析　两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0°，当两个向量反向共线时，其夹角为180°。上面的解答没有注意到这个问题，导致出错．
正解　由已知得,＝－＝2a－2b，＝－＝(－a＋3b）－2b＝－a＋b。显然＝－2，可见与共线，且是反向共线，故与的夹角为180°.

1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
2．如图,已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于（　　）
A．a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
3．在直角三角形ABC中，∠BAC＝30°,则与的夹角等于(　　）
A．30° B．60°
C．120° D．150°

4．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b,p＝3a＋2b，试用m，n表示p,p＝________。

5．如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC,且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a、b为基底表示、、.

一、选择题
1．下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．①③ D．②③
2．如图所示,矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于（　　）

A.（5e1＋3e2) B。（5e1－3e2)
C。(3e2－5e1） D.（5e2－3e1）
3．如图,已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示等于（　　)

A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a＋b
4．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋（10－y)e2＝（4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　）
A．3 B．4 C．－ D．－
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　）
A. B。 C。 D.

二、填空题
6．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为________．
7．如图，在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O，设＝a，＝b,若＝2，则＝________(用a和b表示)．

8．若｜a|＝|b｜＝｜a－b|＝r(r>0),则a与b的夹角为________．
9．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点,若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R,则λ＋μ＝________.

10．设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

三、解答题
11．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a、b、c、d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．

12．如图,平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°,且｜｜＝|｜＝1,｜|＝2.若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，求λ＋μ的值．

13．已知单位圆O上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点P,与不共线．
(1）在△OAB中，点P在AB上,且＝2,若＝r＋s，求r＋s的值;
(2)P满足＝m＋（m为常数），若四边形OABP为平行四边形,求m的值．

当堂检测答案
1．答案　B
解析　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2）∥（3e1－4e2），
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
2．答案　B
解析　＝＋＝＋＝＋（－)＝＋＝a＋b.
3．答案　D
解析　由向量夹角定义知，、的夹角为150°。
4．答案　－m＋n
解析　设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b）＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y）b，
得⇒
5．解　连接FD,∵DC∥AB，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，
∴DC綊FB。
∴四边形DCBF为平行四边形．
依题意，＝＝＝b，
＝＝－＝－
＝a－b，
＝－＝－－＝－－
＝－(a－b）－×b＝b－a。

课时精练答案
一、选择题
1．答案　C
解析　零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错,①③正确．

2．答案　A
解析　＝＝(－）＝(5e1＋3e2）．
3．答案　D
解析　易知＝，＝。
设＝λ,则由平行四边形法则可得
＝λ(＋)＝2λ＋2λ，
由于E，G、F三点共线，则2λ＋2λ＝1，
即λ＝，从而＝，
从而＝＝（a＋b）．
4．答案　B
解析　因为3xe1＋（10－y）e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7）e1＋(10－y－2x)e2＝0，
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得故选B。
5．答案　C
解析　∵＝4＝r＋s，
∴＝＝（－)
＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.

二、填空题
6．答案　（－∞,4)∪(4，＋∞)
解析　若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
由a≠kb即得λ≠4.

7．答案　a＋b
解析　设＝λ，
则＝λ（＋)＝λ(＋)＝λ＋λ。
因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1，所以λ＝,
所以＝＋＝a＋b。
8．答案　60°
解析　作＝a,＝b,则＝a－b,∠AOB为a与b的夹角,由|a|＝｜b|＝|a－b｜知△AOB为等边三角形,则∠AOB＝60°。
9．答案　
解析　设＝a,＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝（＋），即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝。
10．答案　
解析　易知＝＋＝＋（－）＝－＋。
所以λ1＋λ2＝.

三、解答题
11．解　（1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
（2）正确,假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ,使e1＋e2＝λ（e1－e2），即(1－λ)e1＝－（1＋λ)e2。
因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线,这与e1与e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2、e1－e2表示出来．

12．解　如图，以OC为对角线作▱OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ、μ，使＝λ，＝μ,
即＝＋＝λ＋μ.
在Rt△COM中，｜｜＝2，∠COM＝30°,∠OCM＝90°,
∴|｜＝4，∴＝4.
又｜｜＝｜|＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2。
∴λ＋μ＝6.

13．解　(1)∵＝2,∴＝，
∴＝(－)＝－，
又∵＝r＋s,
∴r＝，∴s＝－，∴r＋s的值为0。
（2)∵四边形OABP为平行四边形，
∴＝＋，
又∵＝m＋，
∴＝＋（m＋1），
依题意、是非零向量且不共线，
∴m＋1＝0,解得m＝－1.