初一动点问题答案(2).doc

线段与角的动点问题
1．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当P运动到线段AB上且PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OC的三等分点，求点Q的运动速度；
（2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？

【解答】解：（1）P在线段AB上，由PA＝2PB及AB＝60，可求得PA＝40，OP＝60，故点P运动时间为60秒．
若CQ＝OC时，CQ＝30，点Q的运动速度为30÷60＝（cm/s）；
若OQ＝OC，CQ＝60，点Q的运动速度为60÷60＝1（cm/s）．
（2）设运动时间为t秒，则t+3t＝90±70，解得t＝5或40，
∵点Q运动到O点时停止运动，
∴点Q最多运动30秒，当点Q运动30秒到点O时PQ＝OP＝30cm，之后点P继续运动40秒，则
PQ＝OP＝70cm，此时t＝70秒，
故经过5秒或70秒两点相距70cm．
2．如图，直线l上依次有三个点O，A，B，OA＝40cm，OB＝160cm．
（1）若点P从点O出发，沿OA方向以4cm/s的速度匀速运动，点Q从点B出发，沿BO方向匀速运动，两点同时出发
①若点Q运动速度为1cm/s，则经过t秒后P，Q两点之间的距离为　|160﹣5t|　 cm（用含t的式子表示）
②若点Q运动到恰好是线段AB的中点位置时，点P恰好满足PA＝2PB，求点Q的运动速度．
（2）若两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值．

【解答】解：（1）①依题意得，PQ＝|160﹣5t|；
故答案是：|160﹣5t|；
②如图1所示：4t﹣40＝2（160﹣4t），解得 t＝30，
则点Q的运动速度为：＝2（cm/s）；
如图2所示：4t﹣40＝2（4t﹣160），解得t＝7，
则点Q的运动速度为：＝（cm/s）；
综上所述，点Q的运动速度为2cm/s或cm/s；
（2）如图3，两点P，Q分别在线段OA，AB上，分别取OQ和BP的中点M，N，求的值．
OP＝xBQ＝y，则MN＝（160﹣x）﹣（160﹣y）+x＝（x+y），
所以，＝＝2．

3．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝60cm，AB＝60cm，BC＝10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动．
（1）当点P运动到AB的中点时，所用的时间为　90　秒．
（2）若另有一动点Q同时从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、Q两点相距30cm？

【解答】解：（1）当点P运动到AB的中点时，点P运动的路径为60cm+30cm＝90cm，
所以点P运动的时间＝＝90（秒）；
故答案为90；
（2）当点P和点Q在相遇前，t+30+3t＝60+60+10，解得t＝25（秒），
当点P和点Q在相遇后，t+3t﹣30＝60+60+10，解得t＝40（秒），
答：经过25秒或40秒时，P、Q两点相距30cm．
4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．
（1）点B表示的数是　15　；点C表示的数是　3　；
（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×＝3．
故答案为：15，3；
（2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；
点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；
（3）假设存在，
当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，
∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，
解得t＝1．
此时点P表示的数是1；
当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，
∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．
此时点P表示的数是．
综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或．
5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．

（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．
【解答】解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∠AOD＝∠BOC，
∠AOB+∠DOC＝180°；
（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
6．以直线AB上点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将直角△DOE的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝　30°　；
（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．

【解答】解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30°；

（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴6x＝30或5x+90﹣x＝120
∴x＝5或7.5，
即∠COD＝5°或7.5°
∴∠BOD＝65°或52.5°．
7．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：此时直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON　平分　（平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　13或49　．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究：当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．

【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，
∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90°
∴∠MOB+∠NOB＝90°，
∠MOC+∠COD＝90°，
∵∠MOB＝∠MOC，
∴∠NOB＝∠COD，
∵∠NOB＝∠AOD，
∴∠COD＝∠AOD，
∴直线NO平分∠AOC；

（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC＝130°
∴∠AOC＝50°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝25°，
∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，
即逆时针旋转的角度为65°，
由题意得，5t＝65°
解得t＝13（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝25°，
∴∠AOM＝65°，
即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°，
由题意得，5t＝245°，
解得t＝49（s），
综上所述，t＝13s或49s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝40°，
理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝50°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC
＝（90°﹣∠AON）﹣（50°﹣∠AON）
＝40°．
9．已知∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，∠AOC和∠BOD均可绕点O进行旋转，点M，O，N在同一条直线上，OP是∠COD的平分线．

（1）如图1，当点A与点M重合，点B与点N重合，且射线OC和射线OD在直线MN的同侧时，求∠BOP的余角的度数；
（2）在（1）的基础上，若∠BOD从ON处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为5°/s，同时∠AOC从OM处开始绕点O逆时针方向旋转，转速为3°/s，如图2所示，当旋转6s时，求∠DOP的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，
∴∠COD＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
∵OP是∠COD的平分线，
∴∠DOP＝∠COD＝55°，
∴∠BOP＝85°，
∴∠BOP的余角的度数为5°；
（2）∠DOP的度数为49°，旋转6s时，∠MOA＝3×6°＝18°，∠NOB＝5×6°＝30°，
∴∠COM＝22°，∠DON＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠COM﹣∠DON＝98°，
∵OP是∠COD的平分线，
∴∠DOP＝∠COD＝49°．
10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）若∠BOC＝120°．将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为　10或40　（直接写出结果）；
（3）在（2）的条件下，将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由如下：

第9页

设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON，
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC．
（2）∵∠BOC＝120°
∴∠AOC＝60°，
∴∠BON＝∠COD＝30°，
即旋转60°时ON平分∠AOC，
由题意得，6t＝60°或240°，
∴t＝10或40；
（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
即∠AOM＝∠NOC+30°．
11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为　90　°；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC的内部，则∠BON﹣∠COM＝　30　°；
（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O的运动时间为　（24n+16）　秒，简要说明理由．
【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．
故填：90；
（2）如图3，∠AOC：∠BOC＝2：1，
∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°，
∵∠BON＝90°﹣∠BOM，∠COM＝60°﹣∠BOM，
∴∠BON﹣∠COM＝90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM＝30°，
故填：30；
（3）16秒．理由如下：
如图4．∵点O为直线AB上一点，∠AOC：∠BOC＝2：1，
∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°．
∵OM恰为∠BOC的平分线，
∴∠COM′＝30°．
∴∠AOM+∠AOC+∠COM′＝240°．
∵三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，
∴三角板绕点O的运动最短时间为＝16（秒）．
∴三角板绕点O的运动时间为（24n+16）（n是整数）秒．
故填：（24n+16）．

第1页