浙江物理新学考讲义-第7讲万有引力与航天.doc

学考系列·物理

第7讲 万有引力与航天
【小纳考点精讲】
【考点1】行星的运动及太阳与行星的引力
1．地心说和日心说
(1)地心说：太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。
(2)日心说：地球是绕太阳旋转的普通星体，月球是绕地球旋转的卫星。
2．开普勒行星运动定律
(1)所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。
(2)对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。
(3)所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。
【考点2】万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2．表达式：F＝G，其中引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
4．万有引力定律的两个易混点
(1)任何两个物体之间都存在万有引力，不是只有天体之间才存在。
(2)万有引力定律适用于质点间和相互作用，当物体间距离趋近于零时，并非万有引力趋向于无穷大。

【例1】 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是(　　)
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【小思点评】根据F＝G可得，＝，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力，A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，D正确，C错误。故选D。

【例2】引力常量为G，地球质量为M，地球可看做球体，半径为R，忽略地球的自转，则地球表面的重力加速度为(　　)
A．g＝ B．g＝GR
C．g＝ D．缺少条件，无法计算
【小思点评】忽略地球自转时，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有mg＝，所以g＝。故选C

【考点3】　万有引力定律应用
1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为星体表面处的重力加速度)
2．应用万有引力定律求天体的质量、密度
通过围绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力，即G＝m·r，得天体质量M＝。
(1)若知道天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度ρ＝。
【例3】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的两倍，它的直径是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的(　　)
A．0.5倍 B．2.0倍
C．4倍 D．8.0倍
【小思点评】由题可知该星球的M＝2M0，R＝R0，R0为地球半径，M0为地球的质量，设宇航员质量m，则宇航员在星球上的万有引力为F＝，在地球上的万有引力为F0＝，

可求得F＝8F0，故本题正确选项为D。
【例4】有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
【小思点评】天体表面的重力加速度g＝，又知ρ＝，所以M＝，故＝＝64。故选D。
【考点4】星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法
1．地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得g0＝(R0为地球的半径)。该式也适用于其他星体表面。
2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律，有g＝(R0为地球的半径)。
【例5】 宇航员王亚平在“天宫”一号飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0 B.
C. D.
【小思点评】飞船受到的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，B选项正确。故选B。

【考点5】宇宙航行
1．环绕速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度。
(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法。
①由G＝m得v＝。
②由mg＝m得v＝。
2．第二宇宙速度和第三宇宙速度
(1)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
【例6】如图所示，“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×103 km。由以上数据可估算(　　)

A．“天宫二号”质量
B．“天宫二号”运行速度
C．“天宫二号”受到的向心力
D．地球对“天空二号”的引力
【小思点评】根据万有引力提供向心力得，＝m，可得v＝，所以选项B正确；天宫二号的质量会两边消去，无法求出天宫二号的质量，选项A错误；天宫二号受到的向心力和地球对天宫二号的引力都因不知其质量而无法求出，选项C、D错误。故选B。

【例7】某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R2，R2>R1。根据以上信息可知(　　)
A．甲的质量大于乙的质量
B．甲的周期大于乙的周期
C．甲的速率大于乙的速率
D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力
【小思点评】根据卫星模型，离地面越近，向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，B错，C对；卫星质量不能比较，A错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不能比较，D错。故选C。

【考点6】卫星的线速度、角速度、向心加速度、周期与轨道半径的关系
做匀速圆周运动的卫星所受万有
引力完全提供所需向心力，即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：
⇒当r增大时

【例8】 a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示。下列说法中正确的是(　　)

A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在在P点相撞的危险
【小思点评】由G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可知B、C、D错误，A正确。
【考点7】认识卫星的特点
1．卫星的特点
(1)线速度7.9 km/s是所有地球卫星的最大环绕速度，而周期84 min是所有地球卫星的最小周期。
(2)第一宇宙速度与地球的质量有关。
(3)所有地球卫星，稳定运行时，其轨道平面一定过地球的球心。
2．近地卫星特点
近地卫星具有所有卫星当中线速度最大，角速度最大，向心加速度最大，周期最小的特点。
3．地球同步卫星特点
(1)所谓地球同步卫星，指相对于地面静止，与地球做同步匀速转动的卫星。
(2)地球同步卫星的周期与地球自转的周期T相同，T＝24 h。
(3)地球同步卫星位于地球赤道的正上方，距地球表面的距离h和线速度都是定值。
(由＝得r≈4.24×104 km，则h ≈3.6×104 km；由v＝，得v≈3.08 km/s)。
(4)地球同步卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，绕行方向与地球自转方向相同。

(5)人造卫星的an、v、ω、T由地球的质量M和卫星的轨道半径r决定，当r确定后，卫星的an、v、ω、T便确定了，与卫星的质量、形状等因素无关，当人造卫星的轨道半径r发生变化时，其an、v、ω、T都会随之改变。

【例9】 我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是(　　)
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
【小思点评】7.9 km/s是地球卫星的最大环绕速度，所以A错；地球静止轨道卫星为地球同步卫星，只能定点在赤道上空，西昌在北半球，所以B错；由G＝ma＝m，和r墨子＜r同步知：C正确，D错误。故选C。

【小纳一级习题练】
难易度：☆☆☆
1．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是(　　)
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
【小思点评】第一宇宙速度又叫环绕速度，故A正确，B错误；根据定义有G＝m，得v＝，其中，M为地球质量，R为地球半径，故C、D错误。故选A。

2．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小(　　)
A．等于7.9 km/s
B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
C．小于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间
【小思点评】卫星在圆形轨道上运动的速度v＝，由于r>R，所以v<＝7.9 km/s，C正确。故选C。

3．2015年9月20日，我国成功发射搭载20颗小卫星的“长征”六号火箭。在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放。假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法中，正确的是(　　)

A．20颗小卫星的轨道半径均相同
B．20颗小卫星的线速度大小均相同
C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同
D．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同
【小思点评】　小卫星在高度不同的三层轨道上依次被释放，则运动半径不相同，A选项错误；由于小卫星运动的向心力由万有引力提供，则：G＝＝mRω2＝mR()2，因此在同一圆轨道上小卫星的周期均相同，在不同轨道上小卫星的线速度、角速度不相同，C选项正确，B、D选项错误。故选C。
4．2010年1月17日，我国成功发射北斗COMPASS－G1地球同步卫星(绕地球运行的角速度与地球自转角速度相同)。据了解这已是北斗卫星导航系统发射的第三颗地球同步卫星。则对于这三颗已发射的同步卫星，下列说法中正确的是(　　)
A．它们运行的周期可能不同
B．它们的向心力大小可能不同
C．它们离地心的距离可能不同
D．它们的运行速度大小可能不同，但都小于7.9 km/s
【小思点评】　地球同步卫星，即处在地球上空某一位置处相对地球静止，所以其周期与地球自转周期相同为定值，且该位置只能位于赤道上空，由于周期一定，由万有引力可知卫星的轨道半径一定，即所处高度也是不变的，且运行速度均相同，但是所受的万有引力却与卫星的质量有关。故本题的正确选项为B。

5．根据开普勒定律，下列说法不正确的结论有(　　)
A．人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上
B．卫星离地球越远，速率越小
C．卫星离地球越远，周期越大
D．同一卫星绕不同的行星运行，的值都相同
【小思点评】由开普勒第三定律知A、B、C均正确，注意开普勒第三定律成立的条件是对同一行星的不同卫星，有＝常量。故选D。
6．关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是(　　)
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
【小思点评】万有引力公式F＝G，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力，故选项A错误；当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用，选项B错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，选项C正确；公式中引力常量G的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的，故选项D错误。故选C。

7．卡文迪许测量引力常量的扭秤实验涉及的物理思想方法是(　　)
A．猜想假设法 B．微量放大法
C．极限分析法 D．建模法
【小思点评】卡文迪许测量引力常量的扭秤实验采用了微量放大的思想方法，正确选项为B。

8．下列说法中正确的是(　　)
A．牛顿运动定律就是经典力学
B．经典力学的基础是牛顿运动定律
C．牛顿运动定律可以解决自然界中的所有问题
D．经典力学可以解决自然界中的所有问题
【小思点评】经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础；经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中的所有问题，因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围才能正确解决此类问题。故选B。

9. 我国卫星移动通信系统首发星，被誉为中国版海事卫星的天通一号01星，在2016年8月6日在西昌卫星发射中心顺利升空并进入距离地球约三万六千公里的地球同步轨道。这标志着我国迈入了卫星移动通信的“手机时代”。根据这一信息以及必要的常识，尚不能确定该卫星的(　　)
A．质量 B．轨道半径
C．运行速率 D．运行周期
【小思点评】由距离地球约三万六千公里的地球同步轨道，可以确定轨道半径R和周期T，由v＝可确定运动速率v，而不能确定的是该卫星的质量。故选A。

10．如图所示的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴上，下列对环绕地球做匀速圆周运动的说法不正确的是(　　)

A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
【小思点评】地球卫星做圆周运动的向心力都是由万有引力提供，所以卫星的轨道圆心就是地球的球心，故a不可能成为卫星的轨道；同步卫星的轨道只能在赤道平面内。故选A。

【小纳二级习题练】
难易度：☆☆☆

1．已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，设该星球半径为R，则在距离该星球表面高度为3R的轨道上做匀速圆周运动的宇宙飞船的运行速度为(　　)
A．2 km/s B．4 km/s C．4 km/s D．8 km/s
【小思点评】由第一宇宙速度的定义可知＝①
v0为第一宇宙速度，当宇宙飞船处于3R高度处时，
万有引力提供向心力有＝②
由①②可求得v＝4 km/s。故本题的正确选项为B。

2我国发射的卫星成功进入了“拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示。该“拉格朗日点”位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则该飞行器的(　　)

A．向心力仅由太阳的引力提供
B．周期小于地球公转的周期
C．绕速度大于地球公转的线速度
D．向心加速度小于地球公转的向心加速度

【小思点评】探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故A错误；飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，周期相同，故B错误；角速度相等，根据v＝rω，知探测器的线速度大于地球的线速度，故C正确；根据a＝rω2知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，故D错误；故选C。

3．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　　)
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
【小思点评】本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。
对行星有：＝mr，故GM＝，选项A正确。

4．如图所示，A、B、C是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，A、B质量相同，且大于C的质量，则(　　)

A．B、C的周期相等，且小于A的周期
B．B、C向心加速度相等，且小于A的向心加速度
C．B、C的线速度大小相等，且大于A的线速度
D．B、C所需的向心力相等

【小思点评】　根据万有引力提供向心力得，G＝ma＝m＝mr，解得a＝，v＝，T＝；所以根据T＝可知，轨道半径越大，周期越大。所以B、C的周期相同，大于A的周期，故A错误；根据a＝可知，轨道半径越大，加速度越小，所以B、C的向心加速度相等，小于A的向心加速度，故B正确；根据v＝可知，轨道半径越大，线速度越小，所以B、C的线速度相等，小于A的线速度，故C错误；根据F＝G，因为A、B质量相同，且大于C的质量，而B、C半径相同大于A的半径，所以FA>FB，FB>FC，故D错误，故选B。
5．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　)
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
【小思点评】星球表面重力等于万有引力，G＝mg，故火星表面的重力加速度＝＝0.4，故选项B正确。
6．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　　)
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
【小思点评】　对于中心天体的卫星，G＝m，v＝，设该行星卫星的环绕速度为v′，地球卫星的环绕速度为v，则＝＝，C正确。

7．如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则(　　)

A.＝ 　　　 B.＝
C.＝ 　　　 D.＝
【小思点评】由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据G＝m，得v＝，所以＝，故A正确，B、C、D错误。故选A。

8．如图所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径ra<rb<rc，但三个卫星受到地球的万有引力大小相等，则下列说法正确的是(　　)

A．三个卫星的加速度为aa<ab<ac
B．三个卫星的速度为va<vb<vc
C．三个卫星的质量为ma>mb>mc
D．三个卫星的运行周期为Ta<Tb<Tc

【小思点评】卫星的向心加速度a＝G，轨道半径越小，向心加速度越大，选项A错误；卫星的速度v＝，则轨道半径越小，速度越大，选项B错误；由于三个卫星受到地球的万有引力大小相等，由F＝G可知，轨道半径越大，卫星的质量越大，选项C错误；卫星的运行周期T＝2π，所以轨道半径越大，周期越长，选项D正确。
9．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球绕太阳匀速圆周运动的半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是(　　)
A．4年 B．6年
C．8年 D．9年
【小思点评】行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由太阳对行星的引力提供，由牛顿第二定律得G＝m，解得T＝2π，故＝＝＝，解得T星＝8T地＝8×1年＝8年，因此C正确。

纳思杭分·教研中心·高中学选考教研组第 25 页 共 25 页