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(完整word)必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)
平面向量的实际背景及基本概念
[学习目标] 1。能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一 向量的概念
数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量,而把那些只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量.
注意:①向量的两个要素:大小和方向,缺一不可.解题时,注意从两个要素出发考虑问题.
②数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.
思考 已知下列各量:
①力;②功;③速度;④质量;⑤温度;⑥位移;⑦加速度;⑧重力;⑨路程;⑩密度.
其中是数量的有________________,是向量的有________________.
答案 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧
知识点二 向量的表示方法
(1)向量的几何表示:向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作。
(2)向量的字母表示:向量可以用字母a, b, c,…,表示(印刷用黑体a,b,c,书写时用, , ).
(3)向量的大小:也就是向量的长度(或称模),即有向线段的长度,记作||。长度为0的向量叫做零向量,记作0;长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
思考 在同一平面内,把所有长度为1的向量的始点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是________.
答案 单位圆
知识点三 相等向量与共线向量
(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
①记法:向量a平行于b,记作a∥b.
②规定:零向量与任一向量平行.
(3)共线向量:由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
思考 向量平行具备传递性吗?
答案 向量的平行不具备传递性,即若a∥b,b∥c,则未必有a∥c,这是因为,当b=0时,a、c可以是任意向量,但若b≠0,必有a∥b,b∥c⇒a∥c。因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性,解答问题时,一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”.
题型一 向量的基本概念
例1 判断下列命题是否正确,并说明理由.
①若a≠b,则a一定不与b共线;
②若=,则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点;
③在平行四边形ABCD中,一定有=;
④若向量a与任一向量b平行,则a=0;
⑤若a=b,b=c,则a=c;⑥若a∥b,b∥c,则a∥c.
解 两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确.②=,A、B、C、D四点可能在同一条直线上,故②不正确.③在平行四边形ABCD中,||=||,与平行且方向相同,故=,③正确.④零向量的方向是任意的,与任一向量平行,④正确.⑤a=b,则|a|=|b|且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|且b与c方向相同,则a与c方向相同且模相等,故a=c,⑤正确.若b=0,由于a的方向与c的方向都是任意的,a∥c可能不成立;b≠0时,a∥c成立,故⑥不正确.
跟踪训练1 下列说法正确的有________.
(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
(2)向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一条直线上;
(3)向量与是平行向量;
(4)任何两个单位向量都是相等向量.
答案 (3)
解析 (1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系.
(2)错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量、必须在同一直线上,因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.
(3)正确.向量和是长度相等,方向相反的两个向量.
(4)错误.单位向量不仅有长度,而且有方向;单位向量的方向不一定相同,而相等向量要求长度相等,方向相同.
题型二 向量的表示及应用
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量、、;
(2)求||.
解 (1)向量、、如图所示.
(2)由题意,易知与方向相反,故与共线,
又||=||,
∴在四边形ABCD中,AB綊CD。
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴=,∴||=||=200 km。
跟踪训练2 在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1。
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么?
解 (1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a平行,且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为的圆(作图略).
题型三 平行向量与共线向量
例3 如图所示,△ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与的模大小相等的向量;
(3)写出与相等的向量.
解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点,
所以EF綊BC。又因为D是BC的中点,
所以与共线的向量有:
,,,,,,.
(2)与模相等的向量有:
,,,,。
(3)与相等的向量有:
与。
跟踪训练3 如图,已知四边形ABCD为▱ABCD,则
(1)与的模相等的向量有多少个?
(2)与的模相等,方向相反的向量有哪些?
(3)写出与共线的向量.
解 (1)与的模相等的向量有,,三个向量.
(2)与的模相等且方向相反的向量为,。
(3)与共线的向量有,,。
对向量的有关概念理解不清致误
例4 下列说法正确的个数是( )
①向量a,b共线,向量b,c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④有相同起点的两个非零向量不平行.
A.1 B.2 C.3 D.4
错解 向量共线具有传递性,相等向量的各要素相同(包括起点、终点),同起点共线向量不是平行向量.
答案 B或C或D
错因分析 对共线向量的概念理解不清,零向量与任一向量都是共线向量,共线向量也是平行向量,它与平面几何中的共线和平行不同.
正解 事实上,对于①,由于零向量与任意向量都共线,因此①不正确;对于②,由于向量都是自由向量,则两个相等向量的始点和终点不一定重合,故②不正确;对于④,向量的平行只与方向有关,而与起点是否相同无关,故④不正确;a与b不共线,则a与b都是非零向量,否则,不妨设a为零向量,则a与b共线,与a与b不共线矛盾,从而③正确.
答案 A
1.下列说法错误的是( )
A.若a=0,则|a|=0 B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
2.下列说法正确的是( )
A.若|a|>|b|,则a>b B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a与b共线 D.若a≠b,则a一定不与b共线
3.如图所示,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量与的关系是( )
A。= B.||=||
C.> D.〈
4。如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(1)写出与、相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
5.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点且=,求证:四边形DNBM是平行四边形.
一、选择题
1.下列条件中能得到a=b的是( )
A.|a|=|b| B.a与b的方向相同
C.a=0,b为任意向量 D.a=0且b=0
2.下列说法正确的是( )
A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
D.若a=b,b=c,则a=c
3.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”( )
A.总成立 B.当a≠0时成立
C.当b≠0时成立 D.当c≠0时成立
4.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是( )
A。与 B.与
C。与 D。与
5.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
6.判断下列命题中不正确的是命题个数为( )
①若向量a与b同向,且|a|〉|b|,则a〉b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
7.若对任意向量b,均有a∥b,则a为________.
8.给出以下5个条件:
①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________.(填序号)
9.在四边形ABCD中,=且||=||,则四边形的形状为________.
10.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||=________。
三、解答题
11.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置向量.
12.如图,已知==。求证:
(1)△ABC≌△A′B′C′;
(2)=,=。
13.O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
(1)分别找出与,相等的向量;
(2)找出与共线的向量;
(3)找出与模相等的向量;
(4)向量与是否相等?
当堂检测答案
1.答案 B
解析 零向量的长度为0,方向是任意的,它与任何向量都平行,所以B是错误的.
2.答案 C
解析 A中,向量的模可以比较大小,因为向量的模是非负实数,虽然|a|>|b|,但a与b的方向不确定,不能说a〉b,A不正确;同理B错误;D中,a≠b,a可与b共线.故选C.
3.答案 B
解析 ||与||表示等腰梯形两腰的长度,故相等.
4.解 (1)==,=.(2),,.
5.证明 ∵=,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD,BC平行且相等.
又∵=,∴四边形CNAM为平行四边形,
∴AN,MC平行且相等,∴DN,MB平行且相等,
∴四边形DNBM是平行四边形.
当堂检测答案
一、选择题
1.答案 D
2.答案 D
3.答案 C
解析 当b=0时,不一定成立,因为零向量与任何向量都平行.
4.答案 D
解析 ∵=,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC、BD互相平分,∴=。
5.答案 B
解析 a为任一非零向量,故|a|>0.
6.答案 C
解析 ①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故①不正确.
②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.
③正确.∵|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.
④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
二、填空题
7.答案 零向量
8.答案 ①③④
解析 相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.
9.答案 菱形
解析 ∵=,∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵||=||,∴四边形ABCD是菱形.
10.答案 2
解析 易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在Rt△ABO中,易得||=,∴||=2||=2.
三、解答题
11.解 (1)向量,,,如图所示.
(2)由题意知=,
∴AD綊BC,则四边形ABCD为平行四边形,
∴=,则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°,6千米”.
12.证明 (1)∵=,
∴||=||,且∥.
又∵A不在上,∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形.
∴||=||.
同理||=||,||=||.
∴△ABC≌△A′B′C′。
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形,
∴∥,且||=||.
∴=.同理可证=.
13.解 (1)=,=.
(2)与共线的向量有,,。
(3)与模相等的向量有:,,,,,,.
(4)向量与不相等,因此它们的方向不相同.
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