立方根微课教案.doc

立方根
一、复习
1．平方根是怎样定义的？它的符号怎么表示？
2．算数平方根是怎样定义的？它的符号怎么表示？
3．开平方与平方的关系是什么？
4．平方根有什么样的性质？
被开方数
平方根
算数平方根
正数

零

负数

二、设计情境，导入新课
问题1：要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？你是怎么知道的？
设这种包装箱的棱长为,则=27.这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为=27， 所以x=3. 即这种包装箱的边长应为3 m.
思考：本题是已知一个数的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数
问题：对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗？
★ 概念归纳 ：如果一个数的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
因此，在问题1中，因为，所以3是27的立方根，所以该种包装箱的棱长是3dm。
类似开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。因此，我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根。
三、创设问题，探究新知
知识点1、立方根的性质
问题2： 探究： 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
① 因为，所以8的立方根是（ ）
② 因为，所以8的立方根是（ ）
③ 因为，所以的立方根是（ ）
④ 因为，所以的立方根是（ ）
⑤ 因为，所以8的立方根是（ ）
⑥ 因为，所以的立方根是（ ）
⑦ 因为，所以的立方根是（ ）
总结：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
被开方数
平方根
立方根
正数
两个，是互为相反数
有一个，是正数
零
为零
为零
负数
无
有一个，是负数
知识点2、立方根符号
问题3：根据探究的计算我们会发现，这样表述一个数的立方根太复杂了，是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示出来呢？
类似于平方根，一个数是被开方数，3是根指数（radical exponent）.
现在我们学习了立方根的符号表示，就可以将探究中的数值用立方根的符号来表示出来：
① 因为，所以
② 因为，所以
③ 因为，所以
④ 因为，所以
⑤ 因为，所以
⑥ 因为，所以
⑦ 因为，所以
注意：
问题4：学习了立方根的符号后，可能会有疑问，立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢？如果有，它的根指数是多少？
答：算术平方根的也有根指数，且为2,因此也可以读作“二次根号”，但是这里的根指数可以省略。
问题5：我们已经学过算术平方根的符号中的必需是非负数，那么立方根的符号中的取值有什么限制吗？
答：立方根符号中的没有限制，可以取任何数。
总结：任何数都有立方根，且它的立方根都只有一个，但只有非负数才有平方根。
探究：因为所以
因为，所以
问题6：计算上式，看看你能得出什么结论来？
总结： 。
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。（互为相反数的立方根也互为相反数）
四、例题讲解：
例：求下列各式的值：

解：

五、随堂练习：

六、本课小结
（1）立方根和开立方的定义．
（2）正数、0、负数的立方根的特征．
（3）立方根与平方根的异同．

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