圆的标准方程.doc

(完整word)圆的标准方程圆的标准方程学习目标1。会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点。2。会根据已知条件求圆的标准方程。3。能准确判断点与圆的位置关系。知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中定点是圆的圆心;定长是圆的半径。2。圆的标准方程思考方程(xa）2(yb）2m2一定表示圆吗？答不一定。当m0时表示点（a，b)，当m0时，表示圆.知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：（1）几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CMr，则点M在圆上;若|CM|r,则点M在圆外；若CM|r，则点M在圆内.（2)代数法:可利用圆C的标准方程(xa）2(yb)2r2来确定：点M(m，n)在圆C上（ma)2(nb）2r2；点M（m，n）在圆C外(ma)2（nb）2r2；点M(m,n)在圆C内（ma）2（nb)2r2.思考确定点与圆的位置关系的关键是什么?答关键是点与圆心的距离与半径的大小比较。题型一求圆的标准方程例1已知圆过两点A（3,1)，B（1，3)，且它的圆心在直线3xy20上，求此圆的标准方程.解方法一设所求圆的标准方程为（xa)2（yb）2r2，依题意，有即解得故所求圆的标准方程为(x2）2(y4）210.方法二直线AB的斜率k，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2。线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x1，y2,因此直线m的方程为y22（x1)，即2xy0.又因为圆心在直线3xy20上,所以圆心是这两条直线的交点。联立方程,得解得设圆心为C,所以圆心坐标为(2,4).又因为半径r|CA,所以所求圆的标准方程为(x2）2(y4）210.方法三设圆心为C.因为圆心在直线3xy20上，所以可设圆心C的坐标为(a,3a2)。又因为CACB，所以，解得a2.所以圆心为(2，4），半径长rCA。故所求圆的标准方程为（x2）2（y4）210。跟踪训练1ABC的三个顶点分别为A(0，5)，B（1,2），C（3,4)，求其外接圆的标准方程.解方法一设圆的标准方程为（xa)2(yb）2r2.因为A（0,5),B（1，2），C（3，4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有解此方程组，得故所求外接圆的标准方程是（x3）2（y1)225.方法二因为A（0,5），B（1，2)，所以线段AB的中点的坐标为,直线AB的斜率kAB7.所以线段AB的垂直平分线的方程是y,即x7y100,同理,线段BC的垂直平分线的方程是2xy50。由得圆心的坐标为(3，1）.又因为圆的半径长r5，所以所求外接圆的标准方程是（x3）2（y1)225。题型二点与圆的位置关系的判断例2已知点A(1，2)不在圆C：（xa）2（ya)22a2的内部,求实数a的取值范围.解由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，(1a）2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范围是（0，）。跟踪训练2若点(1,1)在圆（xa）2(ya）24的内部,则a的取值范围是（)A.1a1 B.0a1C.a1或a1 D.1a0答案A解析直接利用点与圆的位置关系来判断。点(1，1）在圆的内部，（1a)2（1a）24。解得1a1.题型三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0），B(5，0)，（1）求此圆的标准方程；（2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P（x，y）到直线xy10的距离的最大值和最小值.解（1）由已知，得C（3，0），r2,所求方程为(x3）2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2。P到直线的最大距离为22,最小距离为22。跟踪训练3已知圆C：(x3)2(y4）21，点A(0，1），B(0，1），设P是圆C上的动点，令d|PA2|PB2，求d的最大值及最小值.解设P（x，y）,则dPA2|PB22（x2y2)2。|CO2324225，(51)2x2y2（51)2.即16x2y236。d的最小值为216234.最大值为236274。求圆的标准方程例4已知圆的圆心在x轴上,半径长为5，且截y轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程。分析由圆心在x轴上，即圆心的纵坐标为0，半径长为5,结合在y轴上截得的线段长为8,可构造直角三角形求解，也可设出圆的方程，利用待定系数法求解。解方法一如图,由题设|AC|r5,AB8,所以|AO|4。在RtAOC中，OC3。设点C的坐标为(a,0），则OCa3。所以a3。所以所求圆的标准方程为(x3)2y225或（x3）2y225.方法二由题意设所求圆的方程为（xa）2y225。因为圆截y轴所得线段长为8，所以圆过点A(0,4).代入方程，得a21625。所以a3。所以所求圆的标准方程为（x3)2y225或（x3)2y225.1。圆（x1）2（y)21的圆心坐标是(）A。(1，) B.(1,）C。（1，） D.(1,）2。圆心是O（3,4），半径长为5的圆的方程为（)A.(x3)2（y4）25B。（x3)2（y4）225C.(x3)2(y4)25D.(x3)2（y4)2253。经过点（2，2)，圆心为C（1，1）的圆的方程是（）A。（x1)2（y1)22B。(x1)2（y1）22C.（x1）2（y1）2D.(x1)2（y1）24。点P（5a1，12a)在圆(x1）2y21的外部，则a的取值范围为（）A.a1 B.a C.|a| D.a|5。若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0）关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_。一、选择题1.若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A。第一象限 B。第二象限C。第三象限 D。第四象限2.已知圆x2y22ax2y（a1)20(0a1）,则原点O在（)A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外3.过点A(1，1），B(1，1）且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A.（x3）2(y1）24 B。(x3)2（y1)24C。（x1）2（y1)24 D。(x1）2(y1）244.圆（x2）2y25关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为(）A.（x2）2y25B。x2(y2）25C.（x2)2(y2）25D。x2（y2）255。以点（2，1)为圆心,且与直线3x4y50相切的圆的标准方程为（)A.(x2）2（y1)23 B.（x2）2（y1)23C。(x2)2（y1)29 D.(x2）2（y1）296.已知一圆的圆心为点A（2,3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的方程是（）A.（x2)2（y3)213 B。(x2)2（y3）213C。(x2）2(y3)252 D。(x2)2(y3)2527。若实数x，y满足(x5)2(y12）2142，则x2y2的最小值为（）A。2 B.1 C. D.二、填空题8.已知A(1,4）,B(5，4），则以AB为直径的圆的标准方程是_。9。与圆（x2)2（y3）216有公共圆心，且过点P（1，1）的圆的标准方程是_。10。圆（x1）2(y1）21上的点到直线xy2的距离的最大值是_.11。已知实数x,y满足y，则t的取值范围是_。三、解答题12.一个等腰三角形ABC底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B(3，0）和C（3,0），求它的外接圆的方程.13。已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0），且过定点P（4,2)。(1）求圆C的方程（用含x0的方程表示)；（2）当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程.当堂检测答案1。答案C解析由圆的标准方程（x1)2（y)21，得圆心坐标为（1，）.2.答案D解析将O（3,4），r5代入圆的标准方程可得.3.答案B解析圆的半径长r，故圆的标准方程为(x1）2（y1)22。4。答案D解析由已知，得（5a11）2（12a）21，即169a21，故|a.5.答案x2（y1）21解析由题意知圆C的圆心为（0,1)，半径为1,所以圆C的标准方程为x2（y1)21。课时精练答案一、选择题1。答案D解析圆的圆心为(a，b）。直线经过一、二、四象限,a0，b0，即a0，b0,圆心在第四象限。2.答案B解析先将圆化成标准方程，得(xa)2(y1）22a，圆心为（a,1)，则原点与圆心的距离为.0a1，r。即原点在圆外.3。答案C解析根据圆心在直线xy20上可排除B、D，再把点代入A、C选项中，可得C正确。4。答案A解析圆(x2)2y25的圆心为(2,0），则圆心关于原点（0，0）对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x2)2y25。5.答案C解析由已知，得圆的半径长r3，故所求圆的标准方程为(x2）2（y1）29。6.答案B解析如图，结合圆的性质可知,圆的半径r。故所求圆的方程为（x2)2（y3）213.7。答案B解析由几何意义可知最小值为141.二、填空题8.答案（x2)2y225解析AB10，则r5,AB的中点坐标为，即(2，0）.故所求圆的标准方程为（x2）2y225.9。答案(x2)2（y3）225解析圆心为（2，3)，设所求圆的半径长为r，则(x2）2（y3）2r2.又因为过点P(1,1），所以r2（12)2（13)225。10。答案1解析圆(x1)2(y1)21的圆心为C(1，1)，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2的距离的最大值为1。11。答案t或t解析y表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(1，3)连线的斜率.如图：A（1,3），B(3，0)，C（3，0），则kAB，kAC，t或t.三、解答题12.解（1)当点A的坐标是(0,4)时（如图)，kAB，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y2，即yx。令x0,则y.所以圆心的坐标是，半径长为4,此时所求外接圆的方程是x22.(2）当点A的坐标是（0，4)时(如图),kAB，线段AB的中点坐标是，线段AB的垂直平分线的方程是y2，即yx。令x0，则y.所以圆心的坐标是，半径长为(4),此时所求外接圆的方程是x22。综上可知，所求外接圆的方程是x22或x22.13.解（1）由题意,设圆C的方程为（xx0）2(yx0）2r2(r0)。因为圆C过定点P(4，2）,所以（4x0)2（2x0）2r2（r0）.所以r22x12x020.所以圆C的方程为(xx0)2（yx0)22x12x020。（2)因为（xx0）2(yx0)22x12x0202（x03)22，所以当x03时，圆C的半径最小，即面积最小。此时圆C的标准方程为（x3）2(y3)22.