几何题中的辅助线教学设计.doc

(完整版)几何题中的辅助线教学设计
几何题中的辅助线教学设计
—-三角形中的辅助线（1）
-—安仁中心学校 陈冲
教学目标：1、理解三角形中作辅助线的意义；
2、了解三角形中常见的几种辅助线的作法；
3、知道需要作辅助线的几种情况，并能根据实际需求作相应的辅助线，帮助解决问题。
教学重难点:
重点:了解三角形中常见的几种辅助线作法及几种需要作辅助线的情况;
难点：能根据实际需要选择作相应的辅助线解决问题是本节内容的难点。
教学媒体准备：课件，电子教案、教学反思。
教学过程：
一、课程导入：提出疑问，引起思考，导入知识。
我们已经复习了三角形相关的一些知识,同学也做了不少关于三角形的练习，相信同学们已经发现，当我们在做很多习题时,题干中的很多条件并不能直接使用，有时候会觉得条件不够，甚至似乎根本没有用。这个时候我们会怎么办呢？
人们一直都善于用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁,把难题转化为自己能解决的简单题目，这是解决问题常用的方法,就如三角形中的辅助线。
二、新课讲授：
请学生回忆已做练习中,常见的辅助线的作法：
1、连结：通常连结三角形中的两个点,可以将一个三角形分割成两个三角形,可以将其分割成一部分与另一个三角形全等或者相似的形式；也可以构造出三角形中的中位线、中线等中间量,方便结题。
例1：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E，F,CG是AB边上的高。

(1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；
(2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。
学生活动:请学生思考并上讲台试作辅助线，并说明这样作辅助线可以达到的目标，教师点评。
解:（1)DE+DF=CG
证明：连结AD
∵
∴
∵
∴
2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE—DF=CG
证明：连接AD
∵
∴
∵
∴
即：

2、作垂线：提问:看到垂线你们会想到什么?回答：求三角形的面积；特殊三角形中的垂线有别的性质，如等腰三角形三线合一；含30度或45度角的直角三角形等。
例2：(2016湖州)如图,AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。若AD=8，则点P到BC的距离是（　　）

A.8 B.6 C。4 D。2

学生活动：举手回答，说明所作的辅助线和期望达到的目标,并说说这样作辅助线的依据。
解析：解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB,
∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD,
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.
故选C。
例3:如图，已知l₁∥l₂∥l₃,相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是

学生活动：独立完成，并展示自己的完成情况。
解:如图，分别过点A,B作AE⊥l1，BF⊥l1，垂足分别为E,F，BF与l3交于点D，
则易由AAS证明△AEC≌△CFB.
设平行线间距离为d＝1，
则CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，
AB＝ .
∴
3、延长：延长可以达到将两条线段接到一起的目的，还可以使某些线段加倍等，期中比较典型的有倍长中线法。
例4:如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，
则(m+n)与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c
C．m+n=b+c D．无法确定

学生活动：以四人小组的形式，讨论如何添加辅助线，并请几个小组代表尝试回答.
解析：在延长BA至点E，使AE=AC,连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACP和△AEP中，
AE=AC
∠CAD=∠EAD
AP=AP ，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE=PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB=m，PC=n,AB=c，AC=b，
∴m+n＞b+c．
故选A．
请学生回顾证明:有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，这个命题是真命题的证明方法.（倍长中线法）
例5： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD与A′D′分别为两个三角形的的中线.
求证：△ABC≌△A′B′C′。

学生活动：请学生上讲台作出辅助线。
证明:分别延长AD，A′D′至点E，E′,使得DE=AD，D′E′=A′D′，连结CE,C′E′，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD与△ECD中
BD=CD，
∠ADB=∠EDC，
AD=ED,
∴△ABD≌△ECD（SAS）
同理可证：△A′B′D′≌△E′C′D′
易用SSS证明△ACE≌△A′C′E′
∴△ABC≌△A′B′C′
进一步得出结论:AC+AB＞2AD
学生活动：请学生思考得出这个结论的理由.（在△ACE中，AC+CE＞AE，AE=2AD，所以有AC+AB＞2AD。）
4、作平行线：作平行线可构造出全等、相似三角形；在遇到角平分线时作平行线，则可以构造出等腰三角形；在遇到三角形中点时，作平行线可以构造出三角形的中位线。
例6:已知，在△ABC中,∠ABC=90°，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合），连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，∠ADH=∠BAC=30°，且点D,E的运动速度之比是:1，求 的值。

学生活动：（此题一题多解，有几种添加辅助线的方法）请学生思考后说一说他们添加辅助线的方法，并进行评价,选择一种最简单的方法解决题目。
解:过点D作DG∥BC,交AC于点G，
则∠ADG=∠B=90°，
∵∠BAC=∠ADH=30°,
∴∠HGD=∠HDG=60°，
∴AH=GH=GD，AD=GD，
由题意可知,AD=CE，
∴GD=CE，
∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，
∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GF=CF，
∴GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，
∴ =2。
5、前面几个例题都是在知道需要作怎样的辅助线的前提下来作辅助线的,如果直接拿到一道题目,有怎样的选择辅助线的原则吗?
总结:添辅助线有几种情况:
1、按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”.
3、按题目条件及要求添辅助线：
将题目给的条件都用起来，为了解决题目要求服务来添加辅助线。
6、 根据上面原则，请学生完成课后思考题：
思考题：
如图三角形ABC中,∠C=90°，∠BDC=∠EDA=30°，AD= ，AE∶BE=1∶4，
求△BDE的面积。

解：过点E作EF⊥AC于点F,
∵∠C=90°，
∴EF∥BC，易得△AEF∽△ABC，
∴EF∶BC=AE∶AB=AF∶AC=1∶5,假设EF=a,则BC=5a
∵∠BDC=∠EDF=30°,CD=5 a，DF= a，
∵AD= ,所以AF= — a，
∴（ - a)∶（5 a+)=1∶5,
可求得a=2/5,
∴S△BDE=S△ABD—S△ADE=AD×BC/2—AD×EF/2= — /5=4 /5
三、 课堂小结：
总结本节所学四中添加辅助线的方法：连结、作垂线、延长、作平行线，并回顾添加辅助线的几种原则,帮助学生加强记忆。
四、 作业布置：
1、课后思考题；2、对应试卷。