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线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量它满足：当每个方中的未知数xi都用ki替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种：无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.（2）求解b1=b2=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解（即只要零解）和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。线性方程组的解法 （1） 、写出线性方程组的增广矩阵.（2） 、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵.（3） 、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。（4） 、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r.如果r=n，则方程组有唯一解；如果rn，则方程组有无穷多解.（5） 把第二步得到的阶梯形矩阵通过初等行变换化为简化阶梯形矩阵。（6） 根据简化阶梯形矩阵，给出线性方程组的一般解或解集.一些特殊的矩阵(1） 行矩阵只有一行的矩阵。（2) 列矩阵只有一列的矩阵。(3） 零矩阵所有元素都等于0的矩阵.（4) 当时称 为阶方阵；所在的对角线称为方阵的主对角线。(5）主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵。（6) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为，简记为。(7） 单位阵记以.注（1） 只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量.这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份。（2）矩阵也称为阶方阵或阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数”（即“元本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的。(3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵,在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用。对线性方程组（1) 称为(1）的系数矩阵，称为(1）的增广矩阵.矩阵的行（列）初等变换： （1) 对换矩阵的两行(列)，用表示对换两行（列)的行（列）初等变换，即（）; （2) 用非零数乘矩阵的某一行(列），用表示以乘矩阵的第行（列）的行（列）初等变换，即;（3) 将矩阵的某行(列)乘以数再加入另一行（列）中去，用表示乘矩阵的第行（列）后加到第行（列）的行（列）初等变换，即。4、 矩阵的等价定义 将矩阵的行经有限次初等变换化为，称与等价，记作.5、 行阶梯形矩阵与最简形矩阵定义3 若矩阵的零行（元素全为零的行)位于的下方,且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称为行阶梯形矩阵。定义4 若行阶梯形矩阵的各非零首元均为1,且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称为最简形。6、 用初等变换线性方程组的解1） 将（1）的增广矩阵用行初等变换化为最简形；2） 由最简形对应的方程组得到解。矩阵的秩矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵中不为零的最高子式，算出它的阶数（2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵化为标准形,即可得出;或化成阶梯形矩阵,其非零行的个数即为秩矩阵秩的性质（1）（2)=（3）（4)(5)若，则即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本（6）（7）若,则（8)为任意矩阵，则