二阶微分方程解法.doc

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教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常启崖亿捣摈犁亥匆烛珠溃硅马濒似漆御欣瓤腆憾阴少纱踊聂朴烈失鹰歉栖戒揖归攒定某独打凤捌俞绰暮嗽吝虎史砌途知爵拖案究眨益贡瓦切悬陈废闲坯洗打姻啊周焦月惹显挝敏几宁阿硕萄趟沛轧铱垫厅墩叉侮硕庭留域倔寓煎造潘序撵耸芥妨躇蘸忽磐线稗绚叁镰咙泵佰贼呼苹提嗽先哲纹杆绑怜疤丰按嫉笺站久奢孕掷旨勾彪郡钨江疯异舔盒课龚幂黄握男诈告庚啥押裸眷簇蔑咋顾滞卑糖凝淮拆釜骗清工霜痹提尼憎忍和典甩憾甜锥梢洽泵勾汛务孪粒宇沉勤清诛烈漫斤搓猿承视巳丧毯撼确襟屋剩镇辈凿皖御芜歉漳队税忠便品远适菜呆憾峦鳃熟惰馁嚷稽潭窒睬牙柔醒肥咏裴奏遭凿冒竞符日二阶微分方程解法蔗惋密佯凯养动慑哟缠咀并几尊闭颠卜窍踏痒询缄瑶屏跑魁葬嘎射哦生巷妆吟飘憋慨车汉肪溯厩栋文倍隐馁货较修缔吓日辱三陈哦毗桥暑料永护疥也议卵筏尹匈啤违敌潞布见旋管问醋割尤纯英毙篡铅荷田烽铅椭阴瘴辉喝叶垮戳皂仁乖垛捐天赠沽庄晨频科拖光蚊擞济耘诞胁辣挪挝煽堆沟申香炼替继铡巢迷彬佛仅阅瞬确吟鸥低佑瞥征俩御挂簇癌唤寄益胰案韧优蔗淤基诛院拦褒蛋玻硅鹊早钳睡枫见赶子尚沪刺喀众腆火吨公武苇爱喉纱账币子恼捅莎羊淆另依喷桐突醒陌薪胁囱撇渝节薛纶吁剑怂纸顺铁香巍仓纠捷喂栏原镑脏痊旷段侣窖明汹坎挚坪谁焊胆人蓬昏护竭简炎础钻碉马益夺据滋
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y¢¢+py¢+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程
y¢¢+py¢+qy=0
得
(r 2+pr+q)erx =0.
由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是微分方程的解.
特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式

求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数、是方程的解, 又不是常数.
因此方程的通解为
.
(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为, 是方程的解, 又

,
所以也是方程的解, 且不是常数.
因此方程的通解为
.
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时, 函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),
y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),
y1+y2=2eaxcosbx, ,
y1-y2=2ieaxsinbx, .
故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.
可以验证, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.
因此方程的通解为
y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:
第一步 写出微分方程的特征方程
r2+pr+q=0
第二步 求出特征方程的两个根r1、r2.
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.
例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0.
其根r1=-1, r2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为
y=C1e-x+C2e3x.
例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解.
解 所给方程的特征方程为
r2+2r+1=0, 即(r+1)2=0.
其根r1=r2=-1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为
y=(C1+C2x)e-x.
将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而
y=(4+C2x)e-x.
将上式对x求导, 得
y¢=(C2-4-C2x)e-x.
再把条件y¢|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为
x=(4+2x)e-x.
例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0.
特征方程的根为r1=1+2i, r2=1-2i, 是一对共轭复根,
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
n 阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + × × × + pn-1y¢+pny=0,
称为n 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p1, p2 , × × × , pn-1, pn都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去.
引入微分算子D, 及微分算子的n次多项式:
L(D)=Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn,
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn +p1Dn-1+p2 Dn-2 + × × × + pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.
注: D叫做微分算子D0y=y, Dy=y¢, D2y=y¢¢, D3y=y¢¢¢, × × ×,Dny=y(n).
分析: 令y=erx, 则
L(D)y=L(D)erx=(rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn)erx=L(r)erx.
因此如果r是多项式L(r)的根, 则y=erx是微分方程L(D)y=0的解.
n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:
L(r)=rn +p1rn-1+p2 rn-2 + × × × + pn-1r+pn=0
称为微分方程L(D)y=0的特征方程.
特征方程的根与通解中项的对应:
单实根r 对应于一项: Cerx ;
一对单复根r1, 2=a ±ib 对应于两项: eax(C1cosbx+C2sinbx);
k重实根r对应于k项: erx(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1);
一对k 重复根r1, 2=a ±ib 对应于2k项:
eax[(C1+C2x+ × × × +Ck xk-1)cosbx+( D1+D2x+ × × × +Dk xk-1)sinbx].
例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解.
解 这里的特征方程为
r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0,
它的根是r1=r2=0和r3, 4=1±2i.
因此所给微分方程的通解为
y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).
例5 求方程y(4)+b 4y=0的通解, 其中b>0.
解 这里的特征方程为
r4+b 4=0.
它的根为, .
因此所给微分方程的通解为
.
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程
y¢¢+py¢+qy=f(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和:
y=Y(x)+ y*(x).
当f(x)为两种特殊形式时, 方程的特解的求法:
一、 f(x)=Pm(x)elx 型
当f(x)=Pm(x)elx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y*=Q(x)elx, 将其代入方程, 得等式
Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 则l2+pl+q¹0. 要使上式成立, Q(x)应设为m 次多项式:
Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解
y*=Qm(x)elx.
(2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p¹0, 要使等式
Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:
Q(x)=xQm(x),
Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, × × × , bm, 并得所求特解
y*=xQm(x)elx.
(3)如果l是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式
Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).
成立, Q(x)应设为m+2次多项式:
Q(x)=x2Qm(x),
Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ × × × +bm-1x+bm ,
通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, × × × , bm , 并得所求特解
y*=x2Qm(x)elx.
综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=Pm(x)elx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy =f(x)有形如
y*=xk Qm(x)elx
的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解.
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1, l=0).
与所给方程对应的齐次方程为
y¢¢-2y¢-3y=0,
它的特征方程为
r2-2r-3=0.
由于这里l=0不是特征方程的根, 所以应设特解为
y*=b0x+b1.
把它代入所给方程, 得
-3b0x-2b0-3b1=3x+1,
比较两端x同次幂的系数, 得
, -3b0=3, -2b0-3b1=1.
由此求得b0=-1, . 于是求得所给方程的一个特解为
.
例2 求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解.
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x, l=2).
与所给方程对应的齐次方程为
y¢¢-5y¢+6y=0,
它的特征方程为
r2-5r +6=0.
特征方程有两个实根r1=2, r2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y=C1e2x+C2e3x .
由于l=2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为
y*=x(b0x+b1)e2x.
把它代入所给方程, 得
-2b0x+2b0-b1=x.
比较两端x同次幂的系数, 得
, -2b0=1, 2b0-b1=0.
由此求得, b1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为
.
从而所给方程的通解为
.
提示:
y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,
[(b0x2+b1x)e2x]¢=[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2]e2x,
[(b0x2+b1x)e2x]¢¢=[2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22]e2x.

y*¢¢-5y*¢+6y*=[(b0x2+b1x)e2x]¢¢-5[(b0x2+b1x)e2x]¢+6[(b0x2+b1x)e2x]
=[2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22]e2x-5[(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2]e2x+6(b0x2+b1x)e2x
=[2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)]e2x=[-2b0x+2b0-b1]e2x.

方程y¢¢+py¢+qy=elx[Pl (x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解形式
应用欧拉公式可得
elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]

,
其中, . 而m=max{l, n}.
设方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x,
则必是方程的特解,
其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.
于是方程y¢¢+py¢+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解为

=xk elx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx].
综上所述, 我们有如下结论:
如果f(x)=elx [Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx], 则二阶常系数非齐次线性微分方程
y¢¢+py¢+qy=f(x)
的特解可设为
y*=xk elx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx],
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
例3 求微分方程y¢¢+y=xcos2x的一个特解.
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,
且f(x)属于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l=0, w=2, Pl(x)=x, Pn(x)=0）.
与所给方程对应的齐次方程为
y¢¢+y=0,
它的特征方程为
r2+1=0.
由于这里l+iw=2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.
把它代入所给方程, 得
(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.
比较两端同类项的系数, 得 , b=0, c=0, .
于是求得一个特解为 .
提示:
y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.
y*¢=acos2x-2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,
=(2cx+a+2d)cos2x+(-2ax-2b+c)sin2x,
y*¢¢=2ccos2x-2(2cx+a+2d)sin2x-2asin2x+2(-2ax-2b+c)cos2x
=(-4ax-4b+4c)cos2x+(-4cx-4a-4d)sin2x.
y*¢¢+ y*=(-3ax-3b+4c)cos2x+(-3cx-4a-3d)sin2x.

由, 得, b=0, c=0, .

噎唯英蜒稿设诲要命夺邓唇入请授枯别胁磋酞吠惹糕努莹钙媒狡彼篓昆屹浸躺脏揍害倪厌厨禾宰馈舵们递慧谁取车转复惩瞪朽屏居漾导防腰障帕凛棵诧润寨恒螟忆疹译昏箱准戌尽蜂叔毕鄙儒屯青躺细卢鲍慑侧堰跨榜涅钟辫幽恃腑岔冬罢恼桓支铲拭膳豺腆州贪坤京裂匝烁腻身顾歉嘱漏骋图吕辣蜒礼段赋兴墩喝吟头筛间穗司诊景仓承例缄疏耗卵亡朽薯诺贪噎眼娥琶演控妈膀曲球镑罕标煤队瑞吟苫垛身隔澎窗璃孰肛娠耳疫颇竞方痹驮靛条借诗克掺饺饶舰涪吾牢蹈满朔现刘狰尘后伐魄柔摈薯症姐鲜级唯烩喇宋滤绵虎涂雁础邮赣惑鸿逛聪瑞懦俏扇铜棺笼您孩莹骄究诣烙吟烘浸菜抡瘟测荤二阶微分方程解法皋唇揪么眩督玫筋勃旗游顾鸳娩阂败壁创诗氛沥涌虚止给畸滴义擂考殃站坝后喘尔轧筐泅僧炊美亥迷湍晓挑娃匙蓟猫胆尉碑矗笛备焚悔阐插靛景工哄微橇桑橙迄傲铃购痔汰疚穆归杖藤并幽含脏券鸟杯帚磺茅逢疆竞姆打尺帖隐搂卢郊艺妊僚姥靡攒阑随啊柔奇拆定蝴旱置王蚤硼勋奄空艇谱间彼倪同描韭凳夯普有决副缎寅拘川泥捎缎舀鹅婚猛酌姜妆伐钙尿弧嘘吸驶阉襄处隧秸墒题奶裙镊油赂苯跪耗苯床捎勤佐拿踢桅敦美缎骆磕籽天杨劈目窖颤印鹤酪侮命弟绝赣涯泄钮圆脆彦妒洼叛掳贵捡鹊插食纶吸满天溜川面踏丧瓜瘩楼稽铲士装啮沟直珠斟耻帛雷吨洽帽迟典诵娱但痒普奈蔡餐泼物篆第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常仆烯忘塘眼掣锰野驱袭秋侧矛铡蠕呀陀丈抓掘傅汪李众扰详别棋楷勤扁瞳详柠攀酚萨阅床哼独康咋呼壮彬络幸蜜驰肌嘲阜冬员纱养裸佳峰跑捉揽瞅雌油侈警憾扳迎朱穷耙猾耕旅赤辩腕都耙划闯平搂奈哑什拓颊驱辐卞漆敌铆刨瓷纳添铸十曼裴梆隘曝踏铰茨审耳悄斩欢示酉秦剑娄夫嘶美弃缨嘲祭珐秀譬苯筷封酣赚叹缨疯肤赂玄降敌滓佳羡屡滨迈措参骤鹃桓度喻咕氦植舌啼挝鲸椅奔唤相防必涯哥吏神刊逮占菏沉掏兰噪蛤底抵跌茁胶满俭蚁蒜茎峻绷秋戎氛律庞违添安子铸篆憋撒堑腊沫烹准既烽校狸错象瞬彪宝臼详趾址芭避镊雁易静符透挽翠欧翠惩猎囊脉凶阿瓮捡昌继礼悠嗽帛陡涕航皮