空间解析几何与向量代数习题与答案.doc

第七章 空间解析几何与向量代数
A
一、
1、平行于向量的单位向量为______________.
2、设已知两点，计算向量的模，方向余弦和方向角.
3、设，求向量在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.
二、
1、设，求(1)(3)a、b的夹角的余弦.
2、知，求与同时垂直的单位向量.
3、设，问满足_________时，.
三、
1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.
2、方程表示______________曲面.
3、1)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为__
_____________，曲面名称为___________________.
2)将xOy坐标面上的绕x轴旋转一周，生成的曲面方程
_____________，曲面名称为___________________.
3)将xOy坐标面上的绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方
程为_____________，曲面名称为_____________________.
4）在平面解析几何中表示____________图形。在空间解析几何中
表示______________图形.
5）画出下列方程所表示的曲面
(1)
(2)
四、
1、指出方程组在平面解析几何中表示____________图形，在空间解
析几何中表示______________图形.
2、求球面与平面的交线在xOy面上的投影方程.
3、求上半球与圆柱体的公共部分在
xOy面及xOz面上的投影.
五、
1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.
2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.
3、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.
4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.
六、
1、求过点(1,2,3)且平行于直线的直线方程.
2、求过点(0,2,4)且与两平面,平行的直线方程.
3、求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.
4、求过点(3,1,-2)且通过直线的平面方程.
5、求直线与平面的夹角.
6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系
1)直线与直线;
2)直线和平面x+y+z=3.
7、求点(3,-1,2)到直线的距离.
B
1、已知（为非零矢量），试证:.
2、.
3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模最小？并证明此时.
4、求单位向量，使且轴，其中.
5、求过轴，且与平面的夹角为的平面方程.
6、求过点，，且垂直于的平面.
7、求过直线，且与直线：平行的平面.
8、求在平面:上，且与直线垂直相交的直线方程.
9、设质量为的物体从空间点，移动到点，计算重力所做的功（长度单位为）.
10、求曲线在坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？
11、已知，求的面积
12、.求直线在平面上的投影直线方程.
C
1、设向量有相同起点,且，其中，不全为零,证明:终点共线.
2、求过点，且与直线：相交成角的直线方程.
3、过且平行于平面又与直线相交的直线方程.
4、求两直线：与直线：的最短距离.
5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量，求此柱面方程.
6、设向量a,b非零，，求.
7、求直线绕y轴旋转一周所围成曲面方程.
第七章 空间解析几何与向量代数
习 题 答 案
A
一、1、
2、=2,,
3、在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j
二、1、1）

（2），
（3）
2、

即为所求单位向量。
3、
三、1、
2、以(1,-2,-1)为球心,半径为的球面
3、1) ,旋转抛物面 ,球面
3)绕x轴：旋转双叶双曲面
绕y轴：旋转单叶双曲面
4、抛物线，抛物柱面
5、

四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。
2、
3、在xoy面的投影为：在xOz面的投影为：
五、1、 2、
3、 4、
六、1、 2、
3、4、
5、0 6、1）垂直 2）直线在平面上 7、
B
1、证明思路：，
即，又，
同理得
2、思路：。答案：
3、思路
该式为关于的一个2次方程，求其最小值即可。答案：
4、思路：取，则。 答案：
5、思路：平面过轴，不妨设平面方程为，则，又（
不全为）
答案：所求平面方程为或
6、法一：，所求平面法向量，且
取
又平面过点，则平面方程为
解法2. 在平面上任取一点，则和共面，由三向量共面的充要条件得，整理得所求平面方程
7、思路：用平面束。设过直线的平面束方程为
答案：平面方程为
8、思路：求交点，过交点且垂直于已知直线的平面为。
答案：
9、思路：重力的方向可看作与向量方向相反
答案：
10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在面上的投影曲线方程为
。原曲线是由旋转抛物面被平面所截的抛物线。
11、思路：，答案：
12、思路：利用平面束方程。答案
C
1、证明：设，，，根据三角形法则。则，，。根据条件不全为，不妨设，则

即 与共线。点在一条直线上。
2、解：在已知直线上任取两点，，则向量
，则构造直线束方程：，表示过点且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当与成角时，有，即，
所求直线方程为。
3、解：设所求直线方程为
所求直线与已知平面平行，则 （1）
又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点，则
在平面上。三向量共面，得，
即 （2）
由（1）（2），得所求直线方程：
4、解：已知两直线的方向向量为，故垂直于两方向向量的向量可取为，又点在直线上
过直线且平行于的平面为，即，又点在直线上，该点到平面的距离
为所求两直线间的最短距离。
5、解：设柱面上任意一点，过作平行于向量的母线且准线相交于
，又，即，，，。
又在圆上，
，即
6、解：

7、 解：对旋转曲面上任一点P(x,y,z)，过P作平面垂直y轴，与y轴的交点为B(0,y,0)，与L的交点为Q()。因为，所以
又因为Q在L上，所以，代入得
。