二次函数与三角形判定.doc

(完整版)二次函数与三角形判定二次函数与三角形判定1. 在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A（1,0)、B两点，与y轴交于C（0，3），顶点为D.（1)求抛物线表达式；（2）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标第1题图解：（1)抛物线yx2bxc过A(1,0）、C（0，3)，解得，抛物线表达式为yx22x3；(2)由（1）知抛物线对称轴为x1，则设N（1，n），易知B(3，0），则BN,NC，BC3，如解图，连接NC、NB，若BNC90，则BC2BN2NC2，即184n2196nn2，n23n20,解得n，N（1，）或N（1,）；若NBC90，则NC2BN2BC2,即196nn24n218， 第1题解图n2，N（1，2);若NCB90，则BN2NC2BC2，即4n2196nn218，n4，N(1，4)综上，当N(1，）或N（1，）或N（1，2）或N(1，4)时,以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形2. 已知抛物线yx22xm1过原点O，与x轴的另一个交点为A，顶点为D，我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”（1)求m的值；(2)判断该“顶点ADO的形状，并说明理由；(3）将此抛物线平移后，经过点C(1，0），且“顶点三角形为等边三角形,求平移后的抛物线表达式解：(1)抛物线yx22xm1经过坐标原点,把(0，0)代入表达式得m10，m1;(2)该“顶点ADO”为等腰直角三角形理由如下：如解图，m1，抛物线表达式为yx22x，变形为y（x1）21，点D坐标为（1，1)，OD。把y0代入表达式得，x10，x22，A点坐标为(2,0）,AD，OA2，ODAD,OA2OD2AD2,ADO90，ADO为等腰直角三角形； 图 图第2题解图(3）如解图，设所求抛物线表达式为yx2bxc，抛物线经过点C(1，0）,bc1，设点D为平移后抛物线顶点,D（，)，tanDCEtan60,两式联立，解得b22，c21,(b2，c1舍去)平移后抛物线的表达式为yx2(22）x12.3. 已知抛物线yx22x3.（1)说明抛物线与x轴的交点情况以及抛物线在坐标系中经过的象限；(2)将抛物线yx22x3平移，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为(2，0），顶点为点M.若ABM恰好是等腰直角三角形,求平移后的抛物线的表达式解:（1)b24ac41280,抛物线与x轴没有交点;a10,抛物线开口向下,抛物线过第三、四象限；（2）抛物线是轴对称图形，MAMB，若ABM恰好是直角三角形，则MAMB，设M(a，b），则平移后抛物线的表达式为y（xa）2b，如解图，当点A1在点B左侧时，过点M1作M1C1x轴于点C1,则BC1M1C12ab，第3题解图y(xa）22a，把（2，0)代入y(xa）22a，得0（2a)22a，即a23a20,解得a11，a22（不符合题意，舍去)，平移后抛物线的表达式为y（x1）21；当点A2在点B右侧时，过点M2作M2C2x轴于点C2，则BC2M2C2a2b，y（xa）2a2，把（2,0）代入y（xa)2a2，得0(2a）2a2，即a25a60,解得a13，a22（不符合题意，舍去),平移后抛物线的表达式为y（x3）21。综上所述,平移后抛物线的表达式为y（x1）21或y(x3)21。